Question

如圖所示，一個質量為m、帶電量為q的正離子，在D處沿著圖示的方向進入磁感強度為B的勻強磁場，此磁場方向垂直紙面向里，結果離子正好從離開A點距離為d的小孔C沿垂直于AC的方向進入勻強電場，此電場方向與AC平行且向上，最后離子打在B處，而B離A點距離為2d（AB⊥AC），不計粒子重力，離子運動軌跡始終在紙面內．求：
（1）離子從D到B所需的時間；
（2）離子到達B處時的動能．

Answer 1

分析：（1）畫出離子的運動軌跡，由幾何知識求出離子在磁場中做圓周運動的半徑r．離子在磁場中由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律和圓周運動公式結合可求出半徑和周期．找出離子在磁場中圓周運動時軌跡所對應的圓心角，可求得時間．離子進入電場后做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做勻加速運動，由運動學公式即可求出離子在電場中運動的時間．即能求出總時間．
（2）由牛頓第二定律和運動學公式可求出離子在電場中偏轉的距離，根據動能定理求出離子到達P處時的動能．

解答：解：如圖，離子從D處進入磁場做勻速圓周運動，設半徑為r，離子初速度為v₀，
洛倫茲力提供向心力，則有：qv0B=

mv0

r

，
畫出粒子的軌跡，由幾何關系得：d=r+rcos60°．
所以DC圓弧對應圓心角θ=120°，粒子在磁場中運動的周期：
T=

2πm

qB

運動時間為：t1=

T

3

=

2πm

3qB

；
在電場中離子做類似平拋運動，設運動時間為t₂，場強為E，則有：2d=v₀t₂，
d=

1

2

a

t

2 2

=

qE t 2 2

2m

，
解得：t2=

3m

qB

．
離子從D到B需時間：t=t1+t2=

(2π+9)m

qB

．
（2）離子從C到B電場力做功．由動能定理得：qEd=EkB-

1

2

m

v

2 0

，
解得：EkB=

4q2B2d2

9m

．
答：（1）離子從D到B所需的時間t=

(2π+9)m

qB

；
（2）離子到達B處時的動能EkB=

4q2B2d2

9m

．

點評：本題離子在組合場中運動的問題，離子在磁場中運動畫軌跡是解題的關鍵，在電場中運用運動的分解進行研究．