Question

假定月球繞地球作圓周運動，地球繞太陽也作圓周運動，且軌道都在同一平面內．己知地球表面處的重力加速度g=9.80m/s²，地球半徑 R₀=6.37×10⁶m，月球質量m=7.3×10²²kg，月球半徑 R_m=1.7×10⁶m，引力恒量G=6.67×10^-11N?m²/kg²，月心地心間的距離約為r_0m=3.84×10⁸m
（ i ）月球的球心繞地球的球心運動一周需多少天？
（ ii ）地球上的觀察者相繼兩次看到滿月需多少天？
（ iii ）若忽略月球繞地球的運動，設想從地球表面發射一枚火箭直接射向月球，試估算火箭到達月球表面時的速度至少為多少（結果要求兩位數字）？

Answer 1

分析：（1）月球在地球引力作用下繞地心作圓周運動，設地球的質量為me，月球繞地心作圓周運動的角速度為ωm，由萬有引力定律和牛頓定律結合黃金代換式即可求解；
（2）滿月是當月球、地球、和太陽成一直線時才有的，此時地球在月球和太陽之間，即圖中A的位置．當第二個滿月時，由于地球繞太陽的運動，地球位置已運動到A′．若以T_m′表示相繼兩次滿月經歷的時間，ω_e表示地球繞太陽運動的角速度，由于ω_e和ω_m的方向相同，根據角速度和周期的關系列式即可求解；
（3）從地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用，另一方面也受到月球的引力作用．當火箭離地球較近時，地球的引力大于月球的引力；當離月球較近時，月球的引力大于地球的引力．作地心和月心的連線，設在地月間某一點處，地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力的大�。�以r表示到月球中心的距離，根據萬有引力定律及機械能守恒定律即可解題．

解答：解：（1）月球在地球引力作用下繞地心作圓周運動，設地球的質量為me，月球繞地心作圓周運動的角速度為ωm，由萬有引力定律和牛頓定律有
G

mem

rm2

=mrmωm2   ①
另有：
G

me

Re2

=g         ②
月球繞地球一周的時間
Tm=

2π

ωm

         ③
由①②③三式解得：
Tm=2π

rm3 gRe2

=2×3.14×

(3.84×108)3 10×(1.7×106)2

s=2.37×10⁶s=27.4天
（2）滿月是當月球、地球、和太陽成一直線時才有的，此時地球在月球和太陽之間，即圖中A的位置．當第二個滿月時，由于地球繞太陽的運動，地球位置已運動到A′．若以T_m′表示相繼兩次滿月經歷的時間，ω_e表示地球繞太陽運動的角速度，由于ω_e和ω_m的方向相同，故有

ω_mT_m′=2π+ω_eT_m′
而ωm=

2π

Tm

ωe=

2π

Te

式中T_e為地球繞太陽運動的周期，T_e=365天．由以上三式得
T_m′=

TeTm

Te-Tm

=29.6天
（3）從地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用，另一方面也受到月球的引力作用．當火箭離地球較近時，地球的引力大于月球的引力；當離月球較近時，月球的引力大于地球的引力．作地心和月心的連線，設在地月間某一點處，地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力的大小．以r表示到月球中心的距離，則有G

mem

(rm-r)2

=G

mmm

r2

式中m為火箭的質量，由上式得
(

me

mm

-1) r2+2rmr-rm2=0
解得：r=3.8×10⁷m
從地球表面發射直接射向月球的火箭只要能到達O點，則過O點后，因月球引力大于地球引力，它便能在月球引力作用下到達月球，這樣發射時火箭離開地面時的速度最小，它到達月球時的速度也最小．設火箭剛達到月球時的最小速度為v，則由機械能守恒定律有
-G

mem

rm-r

-G

mmm

r

=-G

mem

rm-Rm

-G

mmm

Rm

+

1

2

mv2

解得：v=

2Gme( 1 rm-Rm - 1 rm-r )+2Gmm( 1 Rm- 1 r )

=2.3×10³m/s
答：（ 1 ）月球的球心繞地球的球心運動一周需27.4天；
（ 2）地球上的觀察者相繼兩次看到滿月需29.6天；
（ 3）若忽略月球繞地球的運動，設想從地球表面發射一枚火箭直接射向月球，火箭到達月球表面時的速度至少為2.3×10³m/s．

點評：本題主要考查了萬有引力定律的應用，知道從地球表面發射直接射向月球的火箭只要能到達O點，則過O點后，因月球引力大于地球引力，它便能在月球引力作用下到達月球，這樣發射時火箭離開地面時的速度最小，它到達月球時的速度也最�。�難度較大．