Question

(12分)假定月球繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，地球繞太陽(yáng)也作圓周運(yùn)動(dòng)，且軌道都在同一平面內(nèi)．已知地球表面處的重力加速度g=9.80m/s²，地球半徑R_e=6.37×10⁶m，月球質(zhì)量m_m=7.3×10²²kg，月球半徑R_m=1.7×10⁶m，引力恒量G=6.67×10^-11N·m²·kg^-2，月心地心間的距離約為r_em=3.84×10⁸m．

(i)        月球的月心繞地球的地心運(yùn)動(dòng)一周需多少天？

(ii)        地球上的觀察者相繼兩次看到滿月需多少天？

(iii)                若忽略月球繞地球的運(yùn)動(dòng)，設(shè)想從地球表面發(fā)射一枚火箭直接射向月球，試估算火箭到達(dá)月球表面時(shí)的速度至少為多少(結(jié)果要求兩位數(shù)字)？

Answer 1

參考解答：

(i)        月球在地球引力作用下繞地心作圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)地球的質(zhì)量為m_e，月球繞地心作圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω_m，由萬(wàn)有引力定律和牛頓定律有

                                                                                                               ⑴

另有

                                                                                                                               ⑵

月球繞地球一周的時(shí)間

                                                                                                                               ⑶

解⑴、⑵、⑶三式得

                                                                                                                       ⑷

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

                                                                                                       ⑸

(ii)        滿月是當(dāng)月球、地球、和太陽(yáng)成一直線時(shí)才有的，此時(shí)地球在月球和太陽(yáng)之間，即圖中A的位置．當(dāng)?shù)诙�個(gè)滿月時(shí)，由于地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)，地球位置已運(yùn)動(dòng)到．若以表示相繼兩次滿月經(jīng)歷的時(shí)間，表示地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的角速度，由于和的方向相同，故有

                                                                                                               ⑹

而

                                                                                                                               ⑺

                                                                                                                               ⑻

式中為地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期，．由⑹、⑺、⑻三式得

                                                                                                                               ⑼

注意到⑸式，得

                                                                                                                               ⑽

(iii)        從地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用，另一方面也受到月球的引力作用．當(dāng)火箭離地球較近時(shí)，地球的引力大于月球的引力；當(dāng)離月球較近時(shí)，月球的引力大于地球的引力．作地心和月心的連線，設(shè)在地月間某一點(diǎn)處，地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力的大�。�以r表示到月球中心的距離，則有

                                                                                                               ⑾

式中m為火箭的質(zhì)量．由⑾式得

                                                                                               ⑿

解⑿式，注意到⑵式，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得

                                                                                                                       ⒀

從地球表面發(fā)射直接射向月球的火箭只要能到達(dá)O點(diǎn)，則過(guò)O點(diǎn)后，因月球引力大于地球引力，它便能在月球引力作用下到達(dá)月球，這樣發(fā)射時(shí)火箭離開(kāi)地面時(shí)的速度最小，它到達(dá)月球時(shí)的速度也最�。�設(shè)火箭剛達(dá)到月球時(shí)的最小速度為v，則由機(jī)械能守恒定律有

                                                       ⒁

解得

                                                       ⒂

注意到⑵式，代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

                                                                                                               ⒃

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：

本題12分．

第(i)小問(wèn)3分．求得⑷式得2分，求得⑸式得1分．

第(ii)小問(wèn)3分．求得⑼式得2分，求得⑽式得1分．

第(iii)小問(wèn)6分．⑾式2分，⒁式2分，⒃式2分．