Question

一個英國人曾經提出所謂的“登天纜繩”的設想：用一繩豎在赤道正上方，使繩隨著地球同步自轉，只要這根繩子足夠長，就不會墜落，人們可以沿著這條“登天纜繩”到太空中去游覽.盡管繩的材料的抗拉力強度尚不足以承受如此長的繩的自重，也盡管將如此長的繩在赤道上方豎起來的操作在技術上還存在著難以逾越的障礙，但這一大膽的設想卻已被科學家證實在理論上是可行的，并且其長度也被算出約為1.5×10⁵ km.

（1）試利用相關的物理規律定性說明“登天纜繩”這一設想的理論可行性；

（2）指出“登天纜繩”上哪一點最容易斷.

Answer 1

解析：我們在“登天纜繩”上取一質點m，距地心r遠，它受到的地球引力是F_引=，維持隨著地球同步自轉而做圓周運動所需的向心力是F_向=mr（式中T=24 h是地球自轉周期，等于纜繩上各點隨著地球同步自轉而做圓周運動的周期）.

（1）我們先考查符合F_引=F_向的質點，據=mr知這一點正與同步衛星的高度相同，它既無離心運動趨勢，也無近心運動趨勢；再考查低于此高度的質點，由F_引=知引力隨r的減小而增大，由F_向=mr知，要維持該質點隨著地球同步自轉而做圓周運動所需的向心力隨r的減小而減小，這樣引力大于維持質點做圓周運動所需的向心力，質點有近心運動的趨勢，對纜繩有指向地心的拉力；最后再考查高于此高度的質點，由F_引=知引力隨r的增大而減小，由F_向=mr知要維持該質點隨著地球同步自轉而做圓周運動所需的向心力隨r的增大而增大，這樣，引力小于維持質點做圓周運動所需的向心力，質點有離心運動趨勢，對纜繩有背離地心方向的拉力；綜上所述，“登天纜繩”取合適的長度，即可以使“登天纜繩”受到的指向地心的拉力與背離地心方向的拉力平衡，從而使繩豎在赤道正上方，使繩隨著地球同步自轉，而不會墜落.

（2）從上面的分析可看出繩上與同步衛星等高的質點受到的拉力總和最大，最容易斷.

答案：（1）略（2）繩上與同步衛星等高的質點最容易斷