Question

如圖10所示，質量為m的小球，由長為l的細線系住，線能承受的最大拉力是9mg，細線的另一端固定在A點，AB是過A的豎直線，E為AB上的一點，且AE=0.5l，過E作水平線EF，在EF上釘鐵釘D，現將小球拉直水平，然后由靜止釋放，小球在運動過程中，不計細線與釘子碰撞時的能量損失，不考慮小球與細線間的碰撞．

（1）若釘鐵釘位置在E點，求細線與釘子碰撞前后瞬間，細線的拉力分別是多少？

（2）若小球能繞釘子在豎直面內做完整的圓周運動，求釘子位置在水平線EF上距E點距離的取值。

Answer 1

答案：（1），（2） ≤x≤

解析： （1）小球釋放后沿圓周運動，運動過程中機械能守恒，設運動到最低點速度為v，由機械能守恒定律得，碰釘子瞬間前后小球運動的速率不變，碰釘子前瞬間圓周運動半徑為l，碰釘子前瞬間線的拉力為F₁，碰釘子后瞬間圓周運動半徑為l/2，碰釘子后瞬間線的拉力為F₂，由圓周運動、牛頓第二定律得：，

得，

（2）設在D點繩剛好承受最大拉力，記DE=x₁，則：AD=

懸線碰到釘子后，繞釘做圓周運動的半徑為：r₁=l－AD= l－

當小球落到D點正下方時，繩受到的最大拉力為F，此時小球的速度v₁，由牛頓第二定律有：

F－mg=     結合F≤9mg 

由機械能守恒定律得：mg (+r₁)= mv₁²

由上式聯立解得：x₁≤    

隨著x的減小，即釘子左移，繞釘子做圓周運動的半徑越來越大．轉至最高點的臨界速度也越來越大，但根據機械能守恒定律，半徑r越大，轉至最高點的瞬時速度越小，當這個瞬時速度小于臨界速度時，小球就不能到達圓的最高點了．

設釘子在G點小球剛能繞釘做圓周運動到達圓的最高點，設EG=x₂，

則：AG=        r₂=l－AG= l－      在最高點：mg≤      由機械能守恒定律得：mg (—r₂)= mv₂²           聯立得：x₂≥         

釘子位置在水平線EF上距E點距離的取值范圍是： ≤x≤