Question

7．如圖所示，質量為M的圓環，用一根細線懸掛著．另有兩個質量均為m的帶孔小球可穿在環上做無摩擦的滑動，當兩球由圓環頂部放開，并沿相反方向滑下時，小球與圓心連線與豎直方向的夾角為θ．
（1）在圓環不動的條件下，求懸線中的張力T隨θ的變化規律
（2）小球與圓環的質量比$\frac{m}{M}$至少為多大時圓環才有可能上升？

Answer 1

分析 （1）對其中任一小珠研究，根據機械能守恒求得速度與θ的關系式，小珠做圓周運動，指向圓心的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出小珠所受的圓環的彈力，再根據牛頓第三定律得到小珠對圓環的彈力，圓環處于靜止狀態，由平衡條件求出T與θ的關系式；
（2）當圓環所受的合力向上時，有可能上升，根據上問的結果進行討論．

解答 解：（1）設小珠和大環圓心連線與豎直方向的夾角為θ時小珠的速度大小為v．根據機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv²=mgR（1-cosθ）
設圓環對小珠的彈力大小為N，由牛頓第二定律得：
mgcosθ-N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
對于圓環，合力為零，則有：T=Mg+2Ncosθ
聯立以上三式得：Ncosθ=6mgcos²θ-4mgcosθ，T=Mg+6mgcos²θ-4mgcosθ 
（2）由上知，T_min=Mg-$\frac{2}{3}$mg，說明此時小珠對圓環的作用力的合力方向向上，大小為：N′=$\frac{2}{3}$mg
當N′＞Mg時，圓環將會上升，則有：T_min=Mg-$\frac{2}{3}$mg＜0
解得：$\frac{m}{M}$＞$\frac{3}{2}$
答：（1）在圓環不動的條件下，懸線中的張力T隨cosθ變化的函數關系是T=Mg+6mgcos²θ-4mgcosθ；
（2）小珠與圓環的質量比至少為$\frac{3}{2}$時圓環才有可能上升．

點評 本題考查了動能定理、牛頓第二定律、共點力平衡的綜合運用，知道小圓環徑向的合力提供向心力，解決本題的關鍵是運用機械能守恒、圓周運動、力平衡條件結合推導出T的表達式．