Question

11．如圖所示，用高壓水槍噴出的強力水柱沖擊煤層，設水柱直徑為D，水流速度為v，水的密度為ρ，水柱垂直煤層表面，水柱沖擊煤層后水的速度為零．
（1）求高壓水槍的功率；
（2）求水柱對煤的平均沖力；
（3）若將質量為m的高壓水槍固定在質量為M的小車上，當高壓水槍噴出速度為v（相對于地面），質量為△m的水流時，小車的速度是多大？水槍做功多大？不計小車與地面的摩擦力．

Answer 1

分析 （1）先求出時間ts內噴出水的質量，再求出做的功，由P=$\frac{W}{t}$求得功率；
（2）根據動量定理公式，求出平均作用力的大小；
（3）小車與水流組成的系統的動量守恒，由此求出小車的速度，由功能關系即可求出水槍做的功．

解答 解：（1）ts時間內噴水質量為：m=ρSvt=$ρ•\frac{{πD}^{2}}{4}•vt$，
水槍在時間ts內做功轉化為水柱的動能，為：W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{8}ρπ{D}^{2}{v}^{3}t$
故水槍的功率為P=$\frac{\frac{1}{8}ρπ{D}^{2}{v}^{3}t}{t}$=$\frac{1}{8}ρπ{D}^{2}{v}^{3}$．
（2）ts時間內噴出的水在ts內速度減小為0，則由動量定理得：-Ft=0-mv
聯立得：F=$\frac{mv}{t}=\frac{ρ•\frac{{πD}^{2}}{4}•vt•v}{t}$=$\frac{1}{4}ρπ{D}^{2}{v}^{2}$
（3）由于小車與地面之間的摩擦力不計，小車與水流組成的系統的動量守恒，選取水流的方向為正方向，則：
△mv+（m+M）v′=0
所以：$v′=\frac{△mv}{m+M}$
由題可知，水槍做的功轉化為水的動能和小車的動能，則：
$W′=\frac{1}{2}△m{v}^{2}+\frac{1}{2}（m+M）v{′}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{△{m}^{2}{v}^{2}}{2（M+m）}$
答：（1）高壓水槍的功率是$\frac{1}{8}ρπ{D}^{2}{v}^{3}$；
（2）水柱對煤的平均沖力是$\frac{1}{4}ρπ{D}^{2}{v}^{2}$；
（3）水槍噴出速度為v，質量為△m的水流時$\frac{△mv}{m+M}$，小車的速度是，水槍做功是$\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{△{m}^{2}{v}^{2}}{2（M+m）}$．

點評 本題明顯是多個題目的組合，在解答的過程中，注意先求出時間t內噴水槍所做的功即可；
另外，理解該題的描述要與日常生活的實際聯系：
1．日常生產中，水槍是單獨與水泵相連的，水槍內的水來自于水泵的輸送，而不是在小車上！！
2．不計小車與地面的摩擦力也只能是為計算題目而設計的，日常的生產中，是不可以讓小車后退的．