Question

17．2016年10月19日凌晨，神舟十一號載人飛船經過5次變軌后與天宮二號對接成功；設地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，兩者對接后一起繞地球運行的軌道可視為圓軌道，離地面的高度為kR，運行周期為T，則（　　）

• A． 對接前，飛船在前，可通過自身減速而使軌道半徑變大
• B． 對接后，飛船的線速度為v=$\frac{2πR（1+k）}{T}$
• C． 對接后，飛船的加速度為a=$\frac{g}{（1+k）^{2}}$
• D． 由題中數據可求得地球的密度為ρ=$\frac{3π（1+k）^{2}}{G{T}^{2}}$

Answer 1

分析 根據萬有引力等于重力，萬有引力提供向心力，得出對接成功后的加速度．根據萬有引力提供向心力，結合軌道半徑和周期求出地球的質量，結合密度公式求出地球密度．

解答 解：A、對接前，飛船在前，如果自身減速，在原軌道上萬有引力大于所需要的向心力，做近心運動，軌道半徑變小，故A錯誤；
B、對接后，軌道半徑r=R+kR=（1+k）R，飛船的線速度$v=\frac{2πr}{T}=\frac{2π（1+k）R}{T}=\frac{2πR（1+k）}{T}$，故B正確；
C、在地球表面附近，根據重力等于萬有引力，$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$GM=g{R}_{\;}^{2}$；對接后，根據萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma$，得$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$=$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{（1+k）_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}=\frac{g}{（1+{k}_{\;}^{2}）}$，故C正確；
D、根據萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得地球質量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+kR）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}（1+k）_{\;}^{3}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}（1+k）_{\;}^{3}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}$=$\frac{3π（1+k）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，故D錯誤；
故選：BC

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用