Question

6．如圖，水平圓盤可以繞通過盤心的豎直軸OO′轉動，盤上放著兩個用細線相連質量均為m的小木塊P和Q，他們與盤面間的最大靜摩擦力均為F_m．P、Q位于圓盤的同一條直徑上，距盤心的距離分別為r_P和r_Q，且r_P＜r_Q．若開始時細線剛好處于自然伸直狀態（即細線對木塊的拉力為0），現使圓盤緩慢加速轉動，試分析：
（1）圓盤的角速度ω₁多大時，細線才開始有拉力？
（2）圓盤的角速度由ω₁繼續增大，分析說明 P、Q所受的摩擦力及細線的拉力的變化情況．
（3）圓盤的角速度ω₂多大時，P、Q才會開始與圓盤間有相對滑動？

Answer 1

分析 （1）由于物體Q需要的向心力大，如果沒有細線，故物體Q先有滑動，故根據牛頓第二定律列式求解即可；
（2）如果沒有細線，隨著角速度的增加，物體Q、P會先后滑動，有細線的約束后，最終會向Q遠離圓心的方向進行；
（3）考慮恰好滑動的臨界情況，兩個物體均受滑動摩擦力，對兩個物體分別根據牛頓第二定律列式分析即可．

解答 解：（1）隨圓盤緩慢加速轉動，P、Q可看做勻速圓周運動，其角速度逐漸緩慢增加．開始時，靜摩擦力提供他們做圓周運動的向心力，由于r_P＜r_Q，Q做圓周運動所需向心力較大；隨轉速增加，它們受到的靜摩擦力也增大，角速度達到ω₁時，Q先達到最大靜摩擦力，此后細線將開始有拉力；
根據牛頓第二定律，有：${F_m}=mω_1^2{r_Q}$，
解得：ω₁=$\sqrt{\frac{{F}_{m}}{m{r}_{Q}}}$；
（2）隨角速度繼續增加，P、Q的向心力也增大．Q的向心力由最大靜摩擦力和拉力共同提供，Q受的靜摩擦力大小和方向不變，細線的拉力也逐漸增大；
P的向心力也由靜摩擦力和拉力共同提供，隨細線的拉力增大，P受到的靜摩擦力減小，一直到靜摩擦力減為0，然后出現靜摩擦力方向改為背離圓心的方向，并且逐漸增大，直到最大靜摩擦．
 （3）角速度達到ω₂時，P受到靜摩擦力達到最大靜摩擦力，細線拉力設為F_T，P、Q將要開始相對于圓盤滑動．
對于Q，有：${F_T}+{F_m}=mω_2^2{r_Q}$，
對于P，有：${F_T}-{F_m}=mω_2^2{r_p}$，
解得：ω₂=$\sqrt{\frac{{2{F_m}}}{{m（{r_Q}-{r_P}）}}}$；
答：（1）圓盤的角速度ω₁為$\sqrt{\frac{{F}_{m}}{m{r}_{Q}}}$時，細線才開始有拉力；
（2）圓盤的角速度由ω₁繼續增大，Q受的靜摩擦力大小和方向不變，細線的拉力逐漸增大；P受到的靜摩擦力減小，一直到靜摩擦力減為0，然后出現靜摩擦力方向改為背離圓心的方向，并且逐漸增大，直到最大靜摩擦；
（3）圓盤的角速度ω₂為$\sqrt{\frac{{2{F_m}}}{{m（{r_Q}-{r_P}）}}}$時，P、Q才會開始與圓盤間有相對滑動．

點評 本題是圓周運動問題，關鍵明確物體P、Q的向心力來源，注意物體P受摩擦力方向的變化，然后根據牛頓第二定律列式求解．