Question

11．在光滑的水平面上，并排放置著兩個(gè)質(zhì)量為m、長L的完全相同的A、B長木板．一質(zhì)量為2m的小滑塊，以一定的初速度v₀，從左側(cè)沖上木板A，滑塊與木板間的動摩擦因數(shù)為μ，要使滑塊最終能停在木板B上，并以$\frac{5}{9}$v₀的速度共同運(yùn)動．重力加速度為g，求：
（1）A、B木板分離時(shí)，木板A的速度大小．
（2）當(dāng)小滑塊與木板B共速時(shí)，木板A、B之間的距離是多少．
（3）若保持木板的質(zhì)量m不變，討論：木板的長度L與v₀、μ應(yīng)滿足什么關(guān)系才能確定小滑塊能滑上木板B．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)C剛滑上B時(shí)，A、B木板開始分離，對三個(gè)物體組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律求此時(shí)木板A的速度大小．
（2）A、B木板分離后，A做勻速運(yùn)動，B做勻減速運(yùn)動，對B運(yùn)用動量定理求出時(shí)間，再由運(yùn)動學(xué)公式求解小滑塊與木板B共速時(shí)木板A、B之間的距離．
（3）當(dāng)C滑到A的右端時(shí)，速度大于AB的速度，小滑塊能滑上木板B．由動量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合研究．

解答 解：（1）設(shè)A、B木板分離時(shí)，木板A的速度大小為v_A．最終B、C的共同速度為v．
對整個(gè)過程，取向右為正方向，由動量守恒定律得：
   2mv₀=mv_A+（m+2m）v
據(jù)題 v=$\frac{5}{9}$v₀
解得 v_A=$\frac{1}{3}{v}_{0}$ 
（2）設(shè)從C滑上B到兩者共速用時(shí)為t．
對B，由動量定理得：2μmgt=mv-mv_A；
解得 t=$\frac{{v}_{0}}{9μg}$
在此過程中，A的位移為 x_A=v_At=$\frac{{v}_{0}^{2}}{27μg}$
B的位移為 x_B=$\frac{{v}_{A}+v}{2}$t=$\frac{4{v}_{0}^{2}}{81μg}$
所以當(dāng)小滑塊與木板B共速時(shí)，木板A、B之間的距離是 S=x_B-x_A=$\frac{{v}_{0}^{2}}{81μg}$
（3）設(shè)C剛滑到A板右端時(shí)的速度為v_C，此時(shí)AB的速度為v_A′．
根據(jù)動量守恒定律得：
    2mv₀=（m+m）v_A′+2mv_C；
由能量守恒定律得
   $\frac{1}{2}$•2mv₀²=$\frac{1}{2}$（m+m）v_A′²+$\frac{1}{2}$2mv_C²+μ•2mgL
當(dāng)v_C＞v_A′時(shí)，小滑塊就能滑上木板B
聯(lián)立解得 L＜$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$
答：（1）A、B木板分離時(shí)，木板A的速度大小是$\frac{1}{3}{v}_{0}$．
（2）當(dāng)小滑塊與木板B共速時(shí)，木板A、B之間的距離是$\frac{{v}_{0}^{2}}{81μg}$．
（3）若保持木板的質(zhì)量m不變，木板的長度L與v₀、μ應(yīng)滿足關(guān)系：L＜$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$才能確定小滑塊能滑上木板B．

點(diǎn)評 本題要明確研究的對象，分析清楚運(yùn)動過程、選擇恰當(dāng)?shù)倪^程，應(yīng)用動量守恒定律、能量守恒定律、動量定理即可正確解題．