Question

如圖所示，AB是固定在豎直平面內半徑為R的光滑半圓弧，CD是與AB在同一豎直平面內半徑為1.5R的四分之一光滑圓弧軌道，其底端D切線水平，且與AB弧圓心O₁等高現將質量為m的小球（可視為質點）從圓弧CD上與圓心O₂等高的C處由靜止開始釋放，小球落進半圓弧AB并與之內壁碰撞，碰撞點標為P點，碰撞過程中不損失機械能，結果小球剛好能沿原路線回到D點并能沿DC弧返回C．重力加速度g取10m/s²．試求：
（1）小球剛滑到D點時，對D端得壓力大小；
（2）O₁P的連線與O₁B的夾角α的大小；
（3）CD弧底端D距AB弧圓心O₁的距離．

Answer 1

分析：（1）由機械能守恒定律和牛頓定律求解．
（2）球欲回到D點，與弧面的碰撞必須是垂直弧面的碰撞，根據平拋運動的規律求解．
（3）根據幾何關系求解D距AB弧圓心O₁的距離

解答：解：（1）小球到D點速度為v，由機械能守恒定律有：

1

2

mv2=1.5mgR，
    解得v=

3gR

    由牛頓定律有：F-mg=

mv2

1.5R

，
    解得：F=3mg，
所以F′=F=3mg，方向向下；
   （2）小球欲回到D點，與弧面的碰撞必須是垂直弧面的碰撞，即速度方向沿弧AB的半徑方向．設碰撞點和O₁的連線與水平夾角α，根據幾何關系得α為30°，D點和碰撞點連線與水平夾角為β，
根據幾何關系得β為30°則有
x=vt，y=

1

2

gt2
v_y=gt，v_x=v
tanα=

vy

v

y=Rsinα，
解得：sinα=

1

2

α=30°
   （3）D到O₁的距離為：DO₁=X-Rcosα=

3

2

R；
答：（1）小球剛滑到D點時，對D端得壓力大小是3mg；
（2）O₁P的連線與O₁B的夾角α的大小是30°；
（3）CD弧底端D距AB弧圓心O₁的距離是

3

2

R．

點評：本題是牛頓運動定律與機械能守恒定律的綜合題，要熟悉平拋運動的規律和幾何關系得應用．