Question

如圖所示，AB是固定在豎直平面內半徑為R的光滑半圓弧，CD是與AB在同一豎直平面內半徑為1.5R的四分之一光滑圓弧軌道，其底端D切線水平，且與AB弧圓心O₁等高．現將質量為m的小球（可視為質點）從圓弧CD上與圓心O₂等高的C處由靜止開始釋放，小球落進半圓弧AB并與之內壁碰撞，碰撞過程中不損失機械能，結果小球剛好能回到D點并能沿DC弧返回C處．g=10m/s²．求：
（1）小球剛滑到D點時，對D段的壓力大小
（2）CD弧底端D距AB弧圓心O₁的距離
（3）小球與圓弧AB的內壁碰撞時的速度大小．

Answer 1

分析：（1）小球從C滑到D的過程，由機械能守恒定律求出小球到達D點的速度．經過D點時，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求解．
（2）球欲回到D點，與弧面的碰撞必須是垂直弧面的碰撞，根據平拋運動的規律和幾何關系求解D距AB弧圓心O₁的距離．
（3）由平拋運動的規律求解小球與圓弧AB的內壁碰撞時的速度大小．

解答：解：（1）設小球滑到D點速度為v，從C滑到D的過程，由機械能守恒定律有：

1

2

mv2=1.5mgR，得v=

3gR

在D點，由牛頓第二定律有：F-mg=m

v2

1.5R

，
聯立發上兩式解得：F=3mg，
所以小球對D段的壓力大小F′=F=3mg，方向豎直向下；
（2）小球欲回到D點，與弧面的碰撞必須是垂直弧面的碰撞，即速度方向沿弧AB的半徑方向．設碰撞點和O₁的連線與水平夾角α，D點和碰撞點連線與水平夾角為β，則有
由y=

1

2

gt2=Rsinα，得t=

2Rsinα g

則tanα=

vy

v

=

gt

v

=

2gRsinα

v

=

2gRsinα

3gR

=

2 3 sinα

解得：sinα=

1

2

，得α=30°，t=

R g

故v_y=gt=

gR

，x=vt=

3

R，
D到O₁的距離為：DO₁=x-Rcosα=

3

2

R；
（3）小球與圓弧AB的內壁碰撞時的速度大小v′=

vy

sinα

=2

gR

．
答：
（1）小球剛滑倒D點時，對D段的壓力大小為3mg．
（2）CD弧底端D距AB弧圓心O₁的距離為

3

2

R．
（3）小球與圓弧AB的內壁碰撞時的速度大小是2

gR

．

點評：本題是牛頓運動定律與機械能守恒定律的綜合題，要熟悉平拋運動的規律和幾何關系得應用．