Question

11．深空探測一直是人類的夢想．2013年12月14日“嫦娥三號”探測器成功實施月面軟著陸，中國由此成為世界上第3個實現月面軟著陸的國家．如圖所示為此次探測中，我國科學家在國際上首次采用的由接近段、懸停段、避障段和緩速下降段等任務段組成的接力避障模式示意圖．請你應用學過的知識解決下列問題．

（1）已知地球質量約是月球質量的81倍，地球半徑約是月球半徑的4倍．將月球和地球都視為質量分布均勻的球體，不考慮地球、月球自轉及其他天體的影響．求月球表面重力加速度g_月與地球表面重力加速度g的比值．
（2）由于月球表面無大氣，無法利用大氣阻力來降低飛行速度，我國科學家用自行研制的大范圍變推力發動機實現了探測器中途修正、近月制動及軟著陸任務．在避障段探測器從距月球表面約100m高處，沿與水平面成夾角45°的方向，勻減速直線運動到著陸點上方30m處．已知發動機提供的推力與豎直方向的夾角為θ，探測器燃料消耗帶來的質量變化、探測器高度變化帶來的重力加速度g_月的變化均忽略不計，求此階段探測器的加速度a與月球表面重力加速度g_月的比值．
（3）為避免探測器著陸過程中帶來的過大沖擊，科學家們研制了著陸緩沖裝置來吸收著陸沖擊能量，即盡可能把探測器著陸過程損失的機械能不可逆地轉變為其他形式的能量，如塑性變形能、內能等，而不通過彈性變形來儲存能量，以避免二次沖擊或其他難以控制的后果．
已知著陸過程探測器質量（包括著陸緩沖裝置）為m，剛接觸月面時速度為v，從剛接觸月面開始到穩定著陸過程中重心下降高度為H，月球表面重力加速度為g_月，著陸過程中發動機處于關閉狀態，求著陸過程中緩沖裝置吸收的總能量及探測器受到的沖量．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力等于重力，求出月球表面重力加速度g_月與地球表面重力加速度g的比值．
（2）作出探測器的受力分析圖，結合三角形定則，通過幾何關系求出探測器的加速度a與月球表面重力加速度g_月的比值．
（3）根據能量守恒求出著陸過程中緩沖裝置吸收的總能量，根據動量定理求出探測器受到的沖量．

解答 解：（1）根據萬有引力提供星球表面的重力可知，
由黃金代換式有：$g{{R}_{地}}^{2}=G{M}_{地}$，
${g}_{月}{{R}_{月}}^{2}=G{M}_{月}$，
則$\frac{{g}_{月}}{g}=\frac{{M}_{月}}{{M}_{地}}\frac{{{R}_{地}}^{2}}{{{R}_{月}}^{2}}=\frac{1}{81}×\frac{16}{1}=\frac{16}{81}$．
（2）根據題目條件畫出受力分析如圖1所示，由矢量運算法則畫出三角形如圖2所示．
由正弦定理可得：$\frac{m{g}_{月}}{sin（45°-θ）}=\frac{ma}{sinθ}$，
解得$\frac{a}{{g}_{月}}=\frac{sinθ}{sin（45°-θ）}$．
（3）緩沖裝置吸收的能量來源于探測器動能和勢能，由能量守恒定律可得，
E=$\frac{1}{2}m{v}^{2}+m{g}_{月}H$，
根據動量定理，探測器受到的沖量等于動量的變化量，
I=△P=mv．
答：（1）月球表面重力加速度g_月與地球表面重力加速度g的比值為16：81．
（2）此階段探測器的加速度a與月球表面重力加速度g_月的比值為$\frac{sinθ}{sin（45°-θ）}$．
（3）著陸過程中緩沖裝置吸收的總能量為$\frac{1}{2}m{v}^{2}+m{g}_{月}H$，探測器受到的沖量為mv．

點評 本題考查了萬有引力定律與動量定理、能量守恒的基本運用，本題題干較長，關鍵能夠從題干中獲取有用的信息，這是解決本題的關鍵地方．