Question

7．如圖，在xOy平面內(nèi)，有以O(shè)₁（R，0）為圓心和O₂（R，-3.57R ）為圓心，R=0.2m為半徑的兩個圓形磁場區(qū)域，y軸與圓O₂相切于A（0，-3.57R ）點，磁感應(yīng)強度大小均為B=1.57×10^-4T，方向均垂直xOy平面向外，在y=R上方有范圍足夠大的勻強電場，方向水平向右，電場強度大小為E=2×10^-2N/C，在坐標原點O處有一粒子源，可以在xOy平面內(nèi)向 y 軸右側(cè)（x＞0）各個方向發(fā)射出速率相同的正、負帶電的粒子，已知正、負帶電粒子在該磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑也均為R=0.2m，正、負帶電粒子的比荷均為：$\frac{q}{m}$=5×10⁸C/kg． 不計粒子重力及阻力的作用．求：
（1）求粒子源發(fā)射出帶電粒子的速度的大小；
（2）求速度方向沿x軸正方向射入磁場的正帶電粒子到達y軸所需要的時間；
（3）求正、負帶電粒子能夠射到y(tǒng)軸上的范圍．

Answer 1

分析 （1）由洛侖茲力提供向心力就能求出正負粒子射出的速度．
（2）先弄清粒子沿x軸正方向射入后向下偏轉(zhuǎn)從點（R，-R）豎直向下射出⊙O₁圓形磁場區(qū)域再做勻速直線運動進入⊙O₂圓形磁場區(qū)域做勻速圓周運動打在y軸的A點，所以總時間是三段時間的和．
（3）所有正粒子均打到y(tǒng)軸上的A點，而負粒子從⊙O₁磁場區(qū)域后豎直向上進入電場做類平拋運動，由類平拋規(guī)律可以求出從最右邊射出的負粒子打在y軸的位置最高．先求出時間，再求出向上勻速運動的位移，那么打在y軸上的范圍就很容易求出．

解答 解：（1）粒子進入磁場后做勻速圓周運動，其半徑為R=0.2 m
  則：$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{R}$                  
  解得：v=$\frac{BqR}{m}$=1.57×10⁴m/s       
（2）速度方向沿x軸正方向射入磁場的正帶電粒子的軌跡為半徑為R=0.2 m四分之一圓周，從（R，-R）點沿y軸負
  方向射出磁場后做勻速直線運動，再進入O₂磁場區(qū)域做勻速圓周運動到達y軸上A點．正帶電粒子進入O₂磁場區(qū)域
  的軌跡還是半徑為R=0.2 m四分之一圓周．   
  在O₁磁場中運動的時間均為t₁=$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{2qB}$=2×10^-5s              
  做勻速直線運動的時間t₂=$\frac{1.57R}{v}$1=$\frac{1.57×0.2}{1.57×1{0}^{4}}s$=2×10^-5s   
  在O₂磁場中運動的時間為t₃=$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{2qB}$=2×10^-5s               
  正帶電粒子運動到達y軸所需要的總時間：
  t=t₁+t₂+t₃=6×10^-5s       
（3）粒子源發(fā)射出所有帶正電的粒子出磁場后均沿y軸負方向做勻速直線運動后再進入O₂磁場區(qū)域做勻速圓周運動
  而全部到達y軸上A（0，-3.57R）點，即帶正電的粒子全部到達y軸上A點．
  粒子源發(fā)射出所有帶負電的粒子射出磁場后均沿y軸正方向射入勻強電場而做類
  平拋運動．對最右邊的帶負電的粒子：
  $2R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$      而   Eq=ma
  解得：a=1×10⁷m/s²，t=$2\sqrt{2}$×10^-4s=2.828×10^-4 s        
  h=vt=1.57×10⁴m/s×2.828×10^-4s=4.44 m
  y_max=R+h=0.2 m+4.44 m=4.64 m          
  y_min=R=0.2 m
  負粒子在y軸上的范圍：0.2 m到4.64 m（4.6 m ）之間       
答：（1）粒子源發(fā)射出帶電粒子的速度的大小為1.57×10⁴m/s．
（2）速度方向沿x軸正方向射入磁場的正帶電粒子到達y軸所需要的時間為6×10^-5s．     
（3）正、負帶電粒子能夠射到y(tǒng)軸上的范圍是：正粒子均打在y軸的A點；負粒子打在y軸上范圍是0.2m--4.64m．

點評 本題的巧妙之處在于：正負粒子是以相同的速率向各個方向射入圓形磁場，由于半徑與磁場區(qū)域半徑相同，則正負粒子向上偏轉(zhuǎn)后均豎直向上進入電場，而正粒子豎直向下射出圓形磁場，當再次進入圓形磁場做勻速圓周運動后，由對稱性則必都打在A點．