Question

一個圓柱形的豎直井里存有一定量的水，井的側面和底面是封閉的，在井中固定地插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底，在圓管內有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動，開始時，管內外水面相齊，且活塞恰好接觸水面，如圖所示現用卷揚機通過繩子對活塞施加一向上的力F使活塞緩慢向上移動，已知圓管半徑為r＝0.100m，井的半徑R＝2r，水的密度ρ＝1.00×10³kg/m³，大氣壓p₀＝1.00×10⁵Pa，求活塞上升H＝9.00m的過程中拉力F所做的功(井和管在水面上及水面以下的部分都足夠長，不計活塞質量，不計摩擦力，重力加速度g＝10m/s²)．

Answer 1

答案：
解析：

巧解分析：從開始提升活塞到內外的水面高度差為 　　　　  h0＝＝10m   的過程中，活塞始終與管內液體接觸(再提升活塞時，活塞和水面之間將出現真空，另行討論)．設活塞上升距離為h1，管外液面下降h2， 　　　　 h0＝h1＋h2，① 　　因液體體積不變，有： 　　　　 h2＝h1()＝h1，② 　　得   h1＝h0＝7.5m，③ 題給H＝9m＞h1，由此可知確實有活塞下面是真空的一段過程． 　　活塞移動距離從零到h1的過程中，對于水和活塞這個整體，其機械能的增量應等于除重力外其他力做的功．因為始終無動能，所以機械能的增量也就等于重力勢能的增量，即 　　　　 ΔE＝ρ(πr2h1)g，④ 　其他力有管內、外的大氣壓和拉力F．因為液體不可壓縮，所以管內、外大氣壓做的總功 　　　　 p0π(R2－r2)h2－p0πr2h1＝0， 故外力做的功就只是拉力F做的功，由功能關系知： 　　    W1＝ΔE，⑤ 　即    W1＝ρπr2g＝1.18×104J，⑥ 　活塞移動距離從h1到H的過程中，液面不變，F是恒力F＝πr2p0，做功 　　    W2＝F(H－h1)＝πr2p0(H－h1)＝4.71×103J，⑦ 　　所求拉力F做的總功為 　　　　   W1＋W2＝1.65×104J．⑧

提示：

命題意圖：本題考查能量守恒定律，力做功等知識的綜合分析能力．