Question

一個圓柱形的豎直井里存有一定量的水，井的側面和底部是密閉的．在井中固定插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底，在圓管內有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動．開始時，管內外水面相齊，且活塞恰好接觸水面．如圖(甲)所示．現用卷揚機通過繩子對活塞施加一個向上的力F，使活塞緩慢向上移動．已知管筒半徑r=0.100m．井的半徑R=2r．水的密度ρ=1.00×kg/，大氣壓=1.00×Pa，求活塞上升H=9.00m的過程中拉力F所做的功．(井和管在水面以上及水面以下部分都足夠長．不計活塞質量，不計摩擦．重力加速度g取10m/)

Answer 1

答案：16500J
解析：

解：當活塞提升時，水面緊貼活塞一起上升．由于1個大氣壓所能支持的水柱高度為 ， 即當管內外水面的高度差小于10m時，管內的水面始終緊貼活塞．當此 高度差高于10m時，水不再上升，在活塞下方將會出現真空． 設活塞上升h高度時，圓管外部的水面下降的高度為，如圖(乙)所示，由于管內外的水的體積相等，故有，則得，又當即時，管內外的水面高度差恰好是10m在此過程中，拉力為變力，所做功為，其大小等于管內水的重力勢能的增加，即為，代入數據可得 =×． 在活塞從=7.5m上升到H=9.0m的過程中，拉力F是恒力，即，設拉力F做功為××3.14×．在整個過程中拉力做的功為． 此題目研究的問題是：求解拉力F對活塞所做的功；研究對象是在圓管中被提升的水柱；解題的關鍵有三點：①明確1個大氣壓所能支持的水柱高度h=10m，②圓形水管內外上升和下降的水的體積相等，③拉力做功的效果是增加了上升的水柱的重力勢能；應當避免的解題錯誤是當圓管內外水面的高差超過10m時，水面不再隨活塞高度的變化而同步升高，拉力F由變力做功轉換為恒力做功． 在求解拉力F做功時，必須注意到當水管內外的高度差超過10m時，水面不再隨活塞的上升而上升，拉力F由原先的變力做功轉換為恒力做功．還要注意管的內外水面的升和降引起的水的重力勢能的增加均是因為拉力F做功而導致的．