Question

兩個(gè)帶電量均為+q小球，質(zhì)量均為m，固定在輕質(zhì)絕緣等腰直角三角形框架OAB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B上，另一端點(diǎn)用光滑鉸鏈固定在O點(diǎn)，整個(gè)裝置可以繞垂直于紙面的水平軸在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)．直角三角形的直角邊長為L．
（1）若施加豎直向上的勻強(qiáng)電場E₁，使框架OB邊水平、OA邊豎直并保持靜止?fàn)顟B(tài)，則電場強(qiáng)度E₁多大？在此電場中，此框架能否停止在豎直平面內(nèi)任意位置？
（2）若改變勻強(qiáng)電場的大小和方向（電場仍與框架面平行），為使框架的OB邊水平、OA邊豎直（A在O的正下方），則所需施加的勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)E₂至少多大？方向如何？
（3）若施加豎直向上的勻強(qiáng)電場E₃=

2mg

q

，并將A球的帶電量改為-q，其余條件不變，試找出框架所有可能的平衡位置，求出OA邊與豎直方向的夾角θ，并畫出所對應(yīng)的示意圖．

Answer 1

分析：（1）以O(shè)為支點(diǎn)，根據(jù)三角架力矩平衡，求解電場強(qiáng)度E₁．
（2）若改變勻強(qiáng)電場的大小和方向，設(shè)勻強(qiáng)電場E₂的方向與豎直方向夾角為θ，根據(jù)力矩平衡條件列式得到場強(qiáng)E₂與θ的表達(dá)式，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求極值，得到強(qiáng)E₂的最小值．
（3）若施加豎直向上的勻強(qiáng)電場E₃=

2mg

q

，將A球的帶電量改為-q，A球所受的電場力方向變?yōu)樨Q直向下，設(shè)三角形框架平衡時(shí)OA邊偏離豎直方向θ角，由力矩平衡條件得出θ值，畫出三角形框架可能的出現(xiàn)的平衡位置示意圖．

解答：解：（1）根據(jù)有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸物體的平衡條件，有qE₁L=mgL  ①
得 E1=

mg

q

  ②
在此電場中，電場力剛好抵消重力，此三角形框架能停止在豎直平面內(nèi)任意位置．
（2）設(shè)勻強(qiáng)電場E₂的方向與豎直方向夾角為θ，則根據(jù)有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸物體的平衡條件，有
  qE₂Lcosθ+qE₂Lsinθ=mgL  ③
即

2

qE2sin(θ+

π

4

)=mg
當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，E2min=

2 mg

2q

  ④
（3）設(shè)三角形框架平衡時(shí)OA邊偏離豎直方向θ角，則OB邊偏離水平方向的夾角也為θ，根據(jù)有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸物體的平衡條件，有
  qE₃Lcosθ=mgLcosθ+（mg+qE₃）Lsinθ  ⑤
將E3=

2mg

q

代入，解得：tanθ=

1

3

，θ=arctan

1

3

≈18.4°⑥
三角形框架可能的出現(xiàn)的平衡位置如圖所示：

點(diǎn)評：對于有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的類型，系統(tǒng)靜止時(shí)力矩平衡是基本規(guī)律，根據(jù)物理規(guī)律得到表達(dá)式可以運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求極值．第2題也可以這樣求解：
為使三角形框架的OB邊保持水平狀態(tài)，且勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)E₂最小，應(yīng)使電場力對A、B產(chǎn)生的力矩達(dá)到最大，所以其方向應(yīng)沿AB連線斜向上，根據(jù)有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸物體的平衡條件，有2qE2min?

2

2

L=mgL③解得：E2min=

2 mg

2q

④