Question

9．如圖1所示，足夠長的固定斜面傾角為α，一小物塊從斜面底端開始以初速度v₀沿斜面向上運動，若v₀=12m/s，則經過2s后小物塊達到最高點．多次改變v₀的大小，記錄下小物塊從開始運動到最高點的時間t_m，作出t_m-v₀圖象，如圖2所示，（g取10m/s²）則：

（1）若斜面光滑，求斜面傾角α．
（2）更換另一個傾角α=30°的斜面，當小物塊以v₀=12m/s沿斜面向上運動時，仍經過2s到達最高點，求它回到原來位置的速度大小．
（3）更換斜面，改變斜面傾角α，得到的t_m-v₀圖象斜率為k，則當小物塊以初速度v₀沿斜面向上運動時，求小物塊在斜面上運動的總時間為多少？

Answer 1

分析 （1）根據圖象求出加速度，由牛頓第二定律求出斜面傾角α；
（2）根據牛頓第二定律求出上升過程的加速度，求出μ；再根據牛頓第二定律求出下滑的加速度，根據運動學公式求出回到原來位置的速度大小；
（3）根據牛頓第二定律求出a關于α的函數，分兩種討論，分別求總時間

解答 解：（1）由圖可知，$a=\frac{{v}_{0}^{\;}}{{t}_{m}^{\;}}=\frac{12}{2}=6m/{s}_{\;}^{2}$，
根據牛頓第二定律有：mgsinα=ma
即：$a=gsinα=6m/{s}_{\;}^{2}$
可得：$sinα=\frac{a}{g}=0.6$
解得：α=37°                             
（2）上升到最高點的加速度為：${a}_{1}^{\;}=\frac{△v}{△t}=\frac{0-12}{2}m/{s}_{\;}^{2}=-6m/{s}_{\;}^{2}$
根據牛頓第二定律有：$mgsin30°+μmgcos30°=m{a}_{1}^{\;}$
${a}_{1}^{\;}=gsin30°+μgcos30°=6m/{s}_{\;}^{2}$
解得：$μ=\frac{1}{5\sqrt{3}}$                
上升過程中有：${s}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}^{\;}}=\frac{1{2}_{\;}^{2}}{2×6}=12m$
下降過程中有：$mgsin30°-μmgcos30°=m{a}_{2}^{\;}$
得：${a}_{2}^{\;}=gsin30°-μgcos30°=4m/{s}_{\;}^{2}$
由此可得：${v}_{t}^{\;}=\sqrt{2{a}_{2}^{\;}s}=\sqrt{2×4×12}=4\sqrt{6}m/s$      
（3）由題意可知，$\frac{{t}_{m}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=k=\frac{1}{a}$，可知，$a=\frac{1}{k}$
由于物體在斜面上上升過程中有：
a=gsinα+μgcosα
可得：$μ=\frac{1}{kgcosα}-tanα$
討論：（a）當μ＞tanα，即k＜$\frac{1}{2gsinα}$，物塊上滑到最高點后不會下滑．則t=v₀k．
（b）當μ＜tanα，即k＞$\frac{1}{2gsinα}$，物塊到最高點后會下滑，上升時間t₁=v₀k．
上升的位移為$s=\frac{1}{2}{v}_{0}^{\;}{t}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}k{v}_{0}^{2}$
下滑時，${a}_{1}^{\;}=gsinα-μgcosα$，
與a=gsinα+μgcosα聯立得：${a}_{1}^{\;}=2gsinα-a=2gsinα-\frac{1}{k}$，
則${t}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{2s}{{a}_{1}^{\;}}}=\sqrt{\frac{2×\frac{1}{2}k{v}_{0}^{2}}{2gsinα-\frac{1}{k}}}=k{v}_{0}^{\;}\sqrt{\frac{1}{2kgsinα-1}}$   
t_總=t₁+t₂=v₀k+$k{v}_{0}^{\;}\sqrt{\frac{1}{2kgsinα-1}}$=kv₀（1+$\sqrt{\frac{1}{2kgsinα-1}}$）
答：（1）若斜面光滑，求斜面傾角α為37°．
（2）更換另一個傾角α=30°的斜面，當小物塊以v₀=12m/s沿斜面向上運動時，仍經過2s到達最高點，它回到原來位置的速度大小$4\sqrt{6}m/s$．
（3）更換斜面，改變斜面傾角α，得到的t_m-v₀圖象斜率為k，則當小物塊以初速度v₀沿斜面向上運動時，
①當μ＞tanα，即k＜$\frac{1}{2gsinα}$，物塊上滑到最高點后不會下滑．則小物塊在斜面上運動的總時間為t=v₀k
②當μ＜tanα，即k＞$\frac{1}{2gsinα}$，物塊到最高點后會下滑，總時間為$k{v}_{0}^{\;}（1+\sqrt{\frac{1}{2kgsinα-1}}）$

點評 解決本題的關鍵理清物塊的運動情況，正確地受力分析，運用牛頓第二定律和運動學公式綜合求解．