Question

16．制成的線材（如鋼絲、鋼筋）受到拉力會伸長，十七世紀英國物理學家胡克發現，金屬絲或金屬桿在彈性限度內的伸長與拉力成正比，這就是著名的胡克定律．這一發現為后人對材料的研究奠定了重要基礎．現有一根用新材料制成的金屬桿，長為10m，橫截面積為0.8cm²，設計要求它受到拉力后的伸長不超過原長的$\frac{1}{500}$，由于這一拉力很大，桿又較長，直接測試有困難，就選用同種材料制成樣品進行測試，通過測試，取得數據如下：

長度L	拉力F/伸長x/截面積S	250N	500N	750N	1000N
1m	0.05cm2	0.04cm	0.08cm	0.12cm	0.16cm
2m	0.05cm2	0.08cm	0.16cm	0.24cm	0.32cm
3m	0.05cm2	0.12cm	0.24cm	0.36cm	0.48cm
1m	0.10cm2	0.02cm	0.04cm	0.06cm	0.08cm
1m	0.20cm2	0.01cm	0.02cm	0.03cm	0.04cm

根據測試結果，可推導出線材伸長x與材料的長度L、材料的截面積S及拉力F的函數關系為x=8×10^-12×$\frac{FL}{S}$（函數關系中比例系數的數值也要求根據國際單位制寫出）；通過對樣品的測試，可求出新材料制成的金屬細桿能承受的最大拉力為20000N．

Answer 1

分析 由題可知伸長量x與樣品的長度、橫截面積、所受拉力都有關系，涉及的變量較多，因此采用“控制變量法”來確定它們之間的正、反比關系，然后將各種情況進行匯總，再運用比值定義法初步確定這幾個量之間的數量關系，然后根據所得公式來求新材料能承受的最大拉力．

解答 解：由表格得知：
1、當受到的拉力F、橫截面積S一定時，伸長量x與長度L成正比，①
2、當受到的拉力F、樣品長度L一定時，伸長量x與橫截面積S成反比，②
3、當樣品長度L、橫截面積S一定時，伸長量x與受到的拉力F成正比，③
綜上所述，有x∝$\frac{FL}{S}$
設比例系數為k，則所求的線材伸長量x滿足的關系是 x=k$\frac{FL}{S}$
取L=1m，S=0.05cm²=5×10^-6m²，F=250N，x=0.04cm=4×10^-4m
代入上式得 k=8×10^-12m²/N．       
所以x=8×10^-12×$\frac{FL}{S}$
     對新材料制成的金屬細桿，長度L=10m，截面積S=0.8cm²=8×10^-5m²，
最大伸長量 x=$\frac{10}{500}$m=0.02m代入公式x=8×10^-12×$\frac{FL}{S}$有：
金屬細桿承受的最大拉力是 F=20000N．
故答案為：x=8×10^-12×$\frac{FL}{S}$，20000N．

點評 本題中共涉及4個變量，在解題過程中，綜合應用了控制變量法、歸納法、比值定義法來進行分析、解答，對同學的綜合素質要求很高．