Question

20．鷹型飛行器有很好的飛行性能，其原理是通過通過對降落傘的調節，使空氣升力和空氣阻力都受到影響．同時通過控制動力的大小而改變飛行器的飛行狀態．已知：飛行器的動力F始終與飛行方向相同，空氣升力F₁與飛行方向垂直，大小與速度的平方成正比，即F₁=C₁v²；空氣阻力F₂與飛行方向相反，大小與速度的平方成正比，即F₂=C₂v²．其中C₁、C₂相互影響，可由運動員調節，滿足如圖1所示的關系．飛行員和裝備的總質量為90kg．（重力加速度取g=10m/s²．）

（1）若飛行員使飛行器以v₁=10$\sqrt{3}$m/s速度在空中沿水平方向勻速飛行，如圖2所示．則飛行器受到動力F大小為多少？
（2）若飛行員關閉飛行器的動力，使飛行器勻速滑行，且滑行速度v₂與地平線的夾角θ=30°，如圖3所示，則速度v₂的大小為多少？（結果可用根式表示）
（3）若飛行員使飛行器在空中的某一水平面內做勻速圓周運動，如圖4所示，在此過程中C₂只能在1.75～2.5N•s²/m²之間調節，且C₁、C₂的大小與飛行器的傾斜程度無關．則飛行器繞行一周動力F做功的最小值為多少？（結果可保留π）

Answer 1

分析 （1）物體做直線運動的條件是所受的合力方向與速度方向在一條直線上，根據運動員和翼型傘的受力情況進行判斷；
（2）由①位置的受力分析，勻速運動時對重力進行分解，根據平衡條件求解；
（3）豎直方向勻速運動，水平方向做圓周運動，根據力的做功表達式，結合前面條件，即可求解

解答 解：（1）由受力分析可知：mg=C₁v₁²
得：C₁=3N•s²/m²，
由C_l、C₂關系圖象可得：C₂=2.5N•s²/m²
動力F=F₂=C₂v₁²
所以：F=750N
（2）由受力分析可知：
  mgcosθ=C₁v₂²
  mgsinθ=C₂v₂²，
又 C₁=C₂cotθ
在圖3中過原點作直線正確得到直線與曲線的交點．解得：C₂=2.3N•s²/m²，C₁=4N•s²/m²
得：v₂=$\sqrt{195}$m/s
（3）設此時飛行器飛行速率為v，圓周運動的半徑為R，F₁與豎直方向夾角為α，則有：
豎直方向合力為零，有：mg=C₁v²cosα
水平方向合力提供向心力為：C₁v²sinα=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
動力：F=F₂=C₂v²；
繞行一周動力做的功為：W=F•2πR=$\frac{2π{C}_{2}{m}^{2}g}{{C}_{1}^{2}sinαcosα}$
當C₂=1.75N•s²/m²，C₁=6N•s²/m²，α=45°時，W有最小值，有：W_min=49455J
答：
（1）飛行器受到動力F大小為750N；
（2）速度v₂的大小為為$\sqrt{195}$m/s；
（3）飛行器繞行一周動力F做功的最小值為49455J．

點評 本題是信息給予題，關鍵要能正確理解題目所提示的信息，根據飛行器的運動狀態，分析其受力情況，結合平衡條件和牛頓運動定律解答．