Question

兩個星球組成雙星，它們在相互之間的引力作用下，繞連線上的某點做周期相同的勻速圓周運動．現測得兩星中心距離為L，其運動周期為T，萬有引力常量為G，則兩星各自的圓周運動半徑與其自身的質量成

 

（填“正比”或者“反比”）；兩星的總質量為

 

．

Answer 1

分析：雙星系統中，兩顆星球繞同一點做勻速圓周運動，且兩者始終與圓心共線，相同時間內轉過相同的角度，即角速度相等，則周期也相等．但兩者做勻速圓周運動的半徑不相等．

解答：解：設兩星質量分別為M₁和M₂，都繞連線上O點作周期為T的圓周運動，星球1和星球2到O的距離分別為L₁和L₂．
由萬有引力定律提供向心力：
對  M₁：G

M1M2

L2

=M1(

2π

T

)2L1
對于M₁而言，所受萬有引力大小恒定，其圓周運動向心力與萬有引力相等，根據表達式知，其質量與轉動半徑成反比．
得M2=

4π2L2L1

GT2

對M₂：G

M1M2

L2

=M2(

2π

T

)2L2
M1=

4π2L2L1

GT2

由幾何關系知：L₁+L₂=L
三式聯立解得：M_總=M₁+M₂=

4π2L2

GT2

(L1+L2)=

4π2L3

GT2

故答案為：反比，

4π2L3

GT2

點評：處理雙星問題必須注意兩點：（1）兩顆星球運行的角速度、周期相等；（2）軌道半徑不等于引力距離．弄清每個表達式中各字母的含義，在示意圖中相應位置標出相關量，可以最大限度減少錯誤．