Question

兩個(gè)星球組成雙星，它們?cè)谙嗷ブ�間的萬有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)測(cè)得兩星中心距離為R，其運(yùn)動(dòng)周期為T，求兩星的總質(zhì)量．

Answer 1

分析：雙星系統(tǒng)中，兩顆星球繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且兩者始終與圓心共線，相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度，即角速度相等，則周期也相等．但兩者做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不相等．

解答：解：
設(shè)兩星質(zhì)量分別為M₁和M₂，都繞連線上O點(diǎn)作周期為T的圓周運(yùn)動(dòng)，星球1和星球2到O的距離分別為l₁和l₂．
由萬有引力定律提供向心力：
對(duì)  M₁：G

M1M2

R2

=M₁（

2π

T

）² l₁…①
對(duì)M₂：G

M1M2

R2

=M₂（

2π

T

）² l₂…②
由幾何關(guān)系知：l₁+l₂=R…③
三式聯(lián)立解得：M_總=

4π2R3

GT2

．
答：兩星的總質(zhì)量為

4π2R3

GT2

點(diǎn)評(píng)：從動(dòng)力學(xué)方程的三種表述中，可得到相應(yīng)的天體質(zhì)量的三種表達(dá)形式：
　　a．M=

v2r

G

．
　　b．M=

ω2r3

G

．
　　c．M=

4π2r3

GT2

．
上述三種表達(dá)式分別對(duì)應(yīng)在已知環(huán)繞天體的線速度v，角速度ω，周期T時(shí)求解中心天體質(zhì)量的方法．上各式中M表示中心天體質(zhì)量，m表示環(huán)繞天體質(zhì)量，r表示兩天體間距離，G表示萬有引力常量．利用以上方法只能求出中心天體的質(zhì)量，而不能求出環(huán)繞天體的質(zhì)量，因?yàn)榄h(huán)繞天體的質(zhì)量同時(shí)出現(xiàn)在方程的兩邊，已被約掉．
處理雙星問題必須注意兩點(diǎn)：（1）、兩顆星球運(yùn)行的角速度、周期相等；（2）、軌道半徑不等于引力距離（這一點(diǎn)務(wù)必理解）．弄清每個(gè)表達(dá)式中各字母的含義，在示意圖中相應(yīng)位置標(biāo)出相關(guān)量，可以最大限度減少錯(cuò)誤．