Question

14．如圖所示，長木板質量為M=8kg，在長木板右端施加F=38N水平向右的恒力，當長木板向右速度達到v₁=7m/s（圖中未畫出）時在其右端有一質量為m=2kg小木塊（可視為質點）以初速度v₀=2m/s向左滑上木板的右端．小木塊與木板動摩擦因數為μ₁=0.2，木板與地面間的動摩擦因數為μ₂=0.3．設小木塊與長木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，小木塊始終沒滑離長木板，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）從小木塊向左滑上木板的右端開始計時，經過多長時間小木塊與長木板相對靜止．
（2）為使小木塊不滑離木板，木板的長度l至少要多長？
（3）若小木塊與長木板相對靜止時，撤去拉力F，小木塊最終與木板右端的距離s．

Answer 1

分析 （1）小木塊滑上長木板后先向左做勻減速直線運動，速度減至零后向右做勻加速直線運動，在整個過程中加速度不變，當木塊與長木板速度相等時，兩者保持相對靜止．根據牛頓第二定律求木塊的加速度，再由勻變速直線運動的速度公式求出經歷的時間．
（2）小木塊放上木板后，在保持相對靜止時間內的位移與木板的位移之差等于小木塊的相對位移，即為長木板最小的長度．
（3）先求得小木塊與長木板相對靜止時的速度，再由牛頓第二定律和運動學公式求出兩者相對于地面滑行的距離，從而求得小木塊最終與木板右端的距離s．

解答 解：（1）小木塊的加速度大小為 a₁=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ₁g=0.2×10=2m/s²，水平向右
長木板的加速度為：a₂=$\frac{F-{μ}_{1}mg-{μ}_{2}（M+m）g}{M}$
代入數據解得 a₂=0.5 m/s² 水平向右
令剛相對靜止時他們的共同速度為v，以木板運動的方向為正方向
對小物塊有：v=-v₀+a₁t
對木板有：v=v₁+a₂t
解得：t=6s；v=10m/s
故經過6s小木塊與長木板保持相對靜止．
（2）此過程中小木塊的位移為：
  x₁=$\frac{-{v}_{0}+v}{2}$t=$\frac{-2+10}{2}$×6=24m
長木板的位移為：x₂=$\frac{{v}_{1}+v}{2}$t=$\frac{7+10}{2}$×6=51m
所以長木板的長度至少為：L=x₁-x₂=51-24=27m．
（3）小木塊與長木板相對靜止時，撤去拉力F，小木塊的加速度大小仍為 a₁=2m/s²，方向向左
共速至停止運動時木塊對地位移 x₃=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{1{0}^{2}}{2×2}$=25m
長木板的加速度為：a₃=$\frac{{μ}_{2}（M+m）g-{μ}_{1}mg}{M}$
代入數據解得 a₃=$\frac{13}{4}$m/s² 水平向左
共速至停止運動時長木板對地位移 x₄=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{4}}$=$\frac{1{0}^{2}}{2×\frac{13}{4}}$m=$\frac{200}{13}$m≈15.38m
所以小木塊最終與木板右端的距離 s=L-（x₃-x₄）=17.38m
答：
（1）從小木塊向左滑上木板的右端開始計時，經過6s時間小木塊與長木板相對靜止．
（2）為使小木塊不滑離木板，木板的長度l至少要27m．
（3）若小木塊與長木板相對靜止時，撤去拉力F，小木塊最終與木板右端的距離s是17.38m．

點評 解決本題的關鍵知道小木塊滑上長木板后先做勻減速直線運動，然后做勻加速直線運動．共速后兩者以不同的加速度勻減速運動，要知道長木板的至少長度等于木塊的位移和木板的位移之差．