Question

6．太陽系外有一恒星A，其質量為太陽質量的a倍，該恒星的一顆行星B繞其做圓周運動的周期為地球繞太陽運行的周期的b倍，求：
（1）行星B繞恒星A運動的軌道半徑與地球繞太陽運動的軌道半徑之比．
（2）行星B繞恒星A運動的線速度與地球繞太陽運動的線速度之比．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力提供向心力求出行星B繞恒星A運動的軌道半徑與地球繞太陽運動的軌道半徑之比
（2）由$v=\frac{2πR}{T}$代入數據即可線速度之比

解答 解：（1）行星B的質量${m}_{B}^{\;}$，恒星A的質量${M}_{A}^{\;}$，軌道半徑為${R}_{1}^{\;}$
地球質量${m}_{地}^{\;}$，太陽質量為${M}_{太}^{\;}$，軌道半徑${R}_{2}^{\;}$
根據萬有引力提供向心力，$G\frac{{M}_{A}^{\;}{m}_{B}^{\;}}{{R}_{1}^{2}}={m}_{B}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{R}_{1}^{\;}$，解得${R}_{1}^{\;}=\root{3}{\frac{G{M}_{A}^{\;}{T}_{1}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$
$G\frac{{M}_{太}^{\;}{m}_{地}^{\;}}{{R}_{2}^{2}}={m}_{地}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}{R}_{2}^{\;}$，解得${R}_{2}^{\;}=\root{3}{\frac{G{M}_{太}^{\;}{T}_{2}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$
解得：$\frac{{R}_{1}^{\;}}{{R}_{2}^{\;}}=\root{3}{\frac{{M}_{A}^{\;}}{{M}_{太}^{\;}}\frac{{T}_{1}^{2}}{{T}_{2}^{2}}}=\root{3}{a•_{\;}^{2}}$
（2）根據$v=\frac{2πR}{T}$
$\frac{{T}_{1}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}=\frac{{R}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}•\frac{{T}_{2}^{\;}}{{R}_{2}^{\;}}=\root{3}{a_{\;}^{2}}•\frac{1}=\root{3}{\frac{a}}$
答：（1）行星B繞恒星A運動的軌道半徑與地球繞太陽運動的軌道半徑之比$\root{3}{a_{\;}^{2}}$．
（2）行星B繞恒星A運動的線速度與地球繞太陽運動的線速度之比$\root{3}{\frac{a}}$

點評 本題要掌握萬有引力提供向心力及圓周運動規律，注意本題中環繞天體是圍繞兩個不同的中心天體運動，同時要能夠根據題意選擇恰當的向心力的表達式．