Question

有一個擺長為L的單擺，它的擺球質量為m，從與豎直方向成θ的位置無初速開始運動，重力加速度為g，以平衡位置所在的水平面為參考平面，求：
（1）單擺的總機械能；
（2）擺球經過最低點時的速度；
（3）在偏角很小的情況下，從開始運動到擺球第一次經過最低位置需要的時間．

Answer 1

分析：（1）單擺的機械能等于動能與勢能之和．分別求出動能和勢能的大小，從而得出機械能．
（2）根據機械能守恒定律求出擺球擺動最低點的速度．
（3）根據單擺的周期公式求出從開始運動到擺球第一次經過最低位置需要的時間．

解答：解：（1）以平衡位置所在的水平面為參考平面，初位置的動能E_K=0，重力勢能E_P=mgL（1-cosθ）．
所以E=E_K+E_P=mgL（1-cosθ）．
故單擺的總機械能為mgL（1-cosθ）．
（2）根據機械能守恒定律得，mgL（1-cosθ）=

1

2

mv2
解得v=

2gL(1-cosθ)

故擺球經過最低點時的速度為

2gL(1-cosθ)

．
（3）單擺完成一次全振動的時間T=2π

L g

則t=

T

4

=

π

2

L g

．
故從開始運動到擺球第一次經過最低位置需要的時間為

π

2

L g

．

點評：解決本題的關鍵掌握單擺的周期公式，以及掌握機械能守恒定律解題的方法．