Question

12．宇航員站在質量分布均勻的某星球表面上，沿豎直方向從地面以初速度v₀向上拋出一個小球，測得小球經時間t落回地面（此過程不計一切阻力影響）．已知該星球的半徑為R，引力常量為G，球體體積公式V=$\frac{4}{3}π{R^3}$，求：
（1）該星球表面處的重力加速度g；
（2）距該星球表面h處的重力加速度g′；
（3）該星球的平均密度ρ．

Answer 1

分析 （1）根據豎直上拋運動規律求得地球表面的重力加速度；
（2）根據萬有引力等于重力得出重力加速度的表達式，結合星球表面的重力加速度求出距表面h處的重力加速度的大小g′．
（3）先根據重力等于萬有引力求出星球的密度，根據密度公式求得星球的密度．

解答 解：（1）該星球表面處的重力加速度為g，由豎直上拋規律可得：${v_0}=g\frac{t}{2}$
得：$g=\frac{{2{v_0}}}{t}$
（2）對于該星球表面上的物體有：$G\frac{Mm}{R^2}=mg$
距該星球表面h處的物體有：$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=mg'$
得：$\frac{g'}{g}={（{\frac{R}{R+h}}）^2}$
即：$g'={（{\frac{R}{R+h}}）^2}\frac{{2{v_0}}}{t}$
（3）由$G\frac{Mm}{R^2}=mg$得：$M=\frac{{g{R^2}}}{G}=\frac{{2{v_0}{R^2}}}{Gt}$
結合密度公式$ρ=\frac{M}{V}$得：$ρ=\frac{{3{v_0}}}{2πGRt}$
答：（1）該星球表面處的重力加速度g為$\frac{2{v}_{0}^{\;}}{t}$；
（2）距該星球表面h處的重力加速度g′為$（\frac{R}{R+h}）_{\;}^{2}\frac{2{v}_{0}^{\;}}{t}$；
（3）該星球的平均密度ρ為$\frac{3{v}_{0}^{\;}}{2πGRt}$．

點評 本題主要抓住在星球表面重力與萬有引力相等和萬有引力提供圓周運動向心力，掌握豎直上拋運動規律是正確解題的關鍵．