Question

如圖所示，位于豎直平面內的光滑軌道，由一段斜的直軌道和與之相切的圓形軌道連接而成，一小球從斜面軌道上靜止開始下滑，然后沿圓形軌道運動。在圓形軌道的最高點放一個壓力傳感器，測得小球對軌道的壓力，并通過計算機顯示出來，當小球在斜面的下滑起始高度改變時，得到壓力與下滑起始高度的圖像如圖，g取10 m/s²，不計空氣阻力，求：

（1）小球的質量和圓形軌道的半徑。

（2）試證明：小球運動到圓軌道的最低點與最高點時對軌道的壓力差與小球的下滑高度無關。

Answer 1

（1） 0.1kg  0.5m  （2）見解析

解析:

（1）設小球在斜面的下滑起始高度為h，軌道半徑為R，由機械能守恒定律；

   mgh=2mgR+                                               (2分)

在最高點由牛頓第二定律得N+mg=                               (2分)

由以上兩式得N=                                       (2分)

由圖象得：截距-5mg=-5   得質量m=0.1kg                              (1分)

因為圖線的斜率k=  得R=0.5m                             (1分)

（2）證明：設小球運動到圓軌道的最低點和最高點的速度分別為v₁和v₂，對軌道的壓力分別為N₁、N₂

最低點N₁-mg=                                                     (1分)

最高點時N₂+mg=                                              (1分)

在最高低到最高點的過程中由機械能守恒定律得    (2分)

由以上三式得N₁-N₂=6mg                                                  (2分)

 由結果可知，小球運動到圓軌道的最低點與最高點時對軌道的壓力差與小球的下滑高度無關。                               (1分)