Question

如圖所示，質量不計且足夠長的倒L型支架下端固定在質量為2m的木板上，在其上端O處系一長為L的輕繩，繩的下端系一質量為m的小球，小球可視為質點．整個裝置在光滑的水平面上以速度v₀向右做勻速直線運動，水平面的右端為一矮墻．（重力加速度為g）
（1）若木板與墻壁相碰立即與墻壁粘合在一起，試求碰后小球上升至最高點時繩中的張力大小．（小球在運動過程中不與支架相碰）；
（2）若木板與墻壁相碰后以原速率反彈，要使繩的最大偏角不超過90°，則生產L應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）木板與墻壁相碰立即與墻壁粘合在一起，小球以速度v₀向右做圓周運動，速度v₀在不同的范圍內小球的運動情況不同，分情況討論．
（2）繩的偏角最大時，球與木板的共同速度為υ，根據動量守恒求得共同速度，再根據機械能守恒求得繩長．

解答：解：（1）當υ0≤

2gL

時，小球右擺，且設球上升到最高點時繩與豎直方向的夾角為θ≤90⁰
對小球向上擺動的過程有：mgL(1-cosθ)=

1

2

m

υ

2 0

小球在最高點時有：T=mgcosθ
解得張力：T=mg-

m υ 2 0

2L

當

2gL

＜υ0＜

5gL

時，繩松弛后小球做斜上拋運動，當小球上拋至最高點時繩仍松弛，
故張力T=0．
當υ0≥

5gL

時，小球能做完整的圓周運動，設球運動到最高點時速度為υ，對小球從最低點到最高點的過程有：

1

2

m

υ

2 0

-

1

2

mυ2=mg?2L
小球在最高點時有：T+mg=

mυ2

L

解得張力為：T=

m υ 2 0

L

-5mg
（2）若繩長為L₀時，碰后繩的最大偏角為90⁰，
繩的偏角最大時，球與木板的共同速度為υ
據動量守恒得：
2mυ₀-mυ₀=3mυ
據機械能守恒得：
mgL0=

1

2

?3m

υ

2 0

-

1

2

?3mυ2
解得：L₀=

4 υ 2 0

3g

所以當L滿足 L≥

4 υ 2 0

3g

時，繩的偏角不超過90°
答：（1）若木板與墻壁相碰立即與墻壁粘合在一起，碰后小球上升至最高點時繩中的張力大小是

m υ 2 0

L

-5mg
（2）若木板與墻壁相碰后以原速率反彈，要使繩的最大偏角不超過90°，則繩長L應滿足條件是L≥

4 υ 2 0

3g

^．

點評：（1）細繩帶小球在豎直面內做圓周運動，小球需要向心力，根據小球獲得速度的大小判斷小球的運動情況．
（2）該題是把動量守恒和機械能守恒結合得綜合應用．