Question

如圖所示，質量不計且足夠長的倒L型支架下端固定在質量為2m的木板上，在其上端O處系一長為L的輕繩，繩的下端系一質量為m的小球，小球可視為質點．整個裝置在光滑的水平面上以速度v₀向右作勻速直線運動，水平面的右端為一矮墻壁．
①若木板與墻壁相碰后即與墻壁粘合在一起，試求碰后小球上升至最高點時繩中的張力大�。ㄐ∏蛟谶\動過程中不與支架相碰）．
②若木板與墻壁相碰后以原速率反彈，要使繩的最大偏角不超過90°，則繩長L應滿足什么條件？
③在滿足第2問的條件下，則當小球運動至最低點時，木板對地的壓力是多大？

Answer 1

分析：（1）木板與墻壁相碰立即與墻壁粘合在一起，小球以速度v₀向右做圓周運動，速度v₀在不同的范圍內小球的運動情況不同，分情況討論．
（2）繩的偏角最大時，球與木板的共同速度為υ，根據動量守恒求得共同速度，再根據機械能守恒求得繩長．
（3）當小球運動至最低點時，根據系統水平方向動量守恒和機械能守恒，列式求出小球和木板的速度．在最低點時，由重力和細繩的拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律細繩的拉力，再對木板研究，即可求得地對板的支持力，由牛頓第三定律求出木板對地的壓力．

解答：解：①當v₀≤

2gL

時，設球上升到最高點時繩與豎直方向的夾角為θ．
對小球向上擺動的過程有：mgL（1-cosθ）=

1

2

m

v

2 0

                 
小球在最高點時有：T=mgcosθ                                
解得張力：T=mg-

m v 2 0

2L

                                       
當

2gL

＜V0＜

5gL

時，繩松弛后小球作斜上拋運動，故張力T=0      
當v0≥

5gL

時，設球運動到最高點時速度為v．
對小球從最低點到最高點的過程有：

1

2

m

v

2 0

-

1

2

mv2=mg?2L       
小球在最高點時有：T+mg=m

v2

L

                             
解得張力：T=m

v 2 0

L

-5mg                                  
②若繩長為L₀時，碰后繩的最大偏角為90⁰，球與木板的共同速度為v
據動量守恒得：2mv₀-mv₀=3mv                              
據機械能守恒得：mgL₀=

1

2

?3m

v

2 0

-

1

2

?3mv2                     
解得：L0=

4 v 2 0

3g

所以當L滿足L≥

4 v 2 0

3g

時，繩的偏角不超過90⁰                 
③設小球運動到最低點時，小球、木板的速度分別為v₁、v₂，據動量、能量守恒得
2mυ₀-mυ₀=mυ₁+mv₂
據機械能守恒得：

1

2

?3m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

?2m

v

2 2

解得：v₁=-v₀（?-?表示小球向右通過最低點），v₂=v₀
    v₁=

5

3

v0，v2=-

v0

3

（?-?表示木板向右運動）         
不論小球向左還是向右通過最低點，球相對于板的速度v’均為2v₀，即：v′=2v₀
對最低點的小球有：T-mg=m

v′2

L

                             
對木板有：N=T+2mg                                       
據牛頓第三定律得：板對地壓力大小N′=N                       
解得：N′=3mg+

4m v 2 0

L

答：
①若木板與墻壁相碰后即與墻壁粘合在一起，碰后小球上升至最高點時繩中的張力大小為m

v 2 0

L

-5mg．
②若木板與墻壁相碰后以原速率反彈，要使繩的最大偏角不超過90°，則繩長L應滿足L≥

4 v 2 0

3g

．
③在滿足第2問的條件下，則當小球運動至最低點時，木板對地的壓力是3mg+

4m v 2 0

L

．

點評：本題中細繩帶小球在豎直面內做圓周運動，小球需要向心力，根據小球獲得速度的大小判斷小球的運動情況．該題是把動量守恒和機械能守恒結合得綜合應用．