Question

9．在圖（a）所示的電路中，電阻值均為R，則A、B兩點之間的等效電阻R_AB=$\frac{7}{12}$R．在圖（b）所示的有限網絡中，每一小段導體的電阻值均為R，則A、B兩點之間的等效電阻R_AB=$\frac{6}{11}$R．

Answer 1

分析 （a）畫出AB間的等效電路，利用串并聯電路知識和歐姆定律求電阻；
（b）垂直于AB做直線，AB的垂直平分線的四個點電勢相等，可以直接短路，利用串并聯電路知識和歐姆定律求電阻．

解答 解：（a）電阻編號如圖所示：

AB間等效電路為：

設電源電壓為U，干路電流為I，則等效電阻為：R_等=$\frac{U}{I}$，對1、2、3、4、5、6、7組成的部分，設靠近A端的電阻R兩端的電壓為k_U（0＜k＜1為待定系數），則靠近B端的電阻R兩端的電壓也為k_U，則兩電阻2R兩端的電壓都為（1-k）U，中間電阻2兩端的電壓應為（1-2k）U，
考慮節點電流，流入電流等于流出電流，則有：
（1-k）$\frac{U}{2R}$+（1-2k）$\frac{U}{R}$=k$\frac{U}{R}$
解得：k=$\frac{3}{7}$
則總電流為：I=k$\frac{U}{R}$+（1-k）$\frac{U}{2R}$
代入k=$\frac{3}{7}$，可得：I=$\frac{5U}{7R}$，代入R_等=$\frac{U}{I}$得：
R_等=$\frac{7}{5}$R，
故可知AB等效電阻為：$\frac{1}{{R}_{AB}}$=$\frac{1}{\frac{7}{5}R}$+$\frac{1}{R}$
解得：R_AB=$\frac{7}{12}$R
（b）垂直于AB做直線，AB的垂直平分線的四個點電勢相等，可以直接短路；

可以AB間等效電阻為：$\frac{1}{{R}_{AB}}$=$\frac{R}{2}$+$\frac{R}{4}$+$\frac{R}{6}$+$\frac{R}{6}$+$\frac{R}{4}$+$\frac{R}{2}$
解得：R_AB=$\frac{6}{11}$R
故答案為：$\frac{7}{12}$R；$\frac{6}{11}$R．

點評 該題先要會畫等效電路，能掌握節點電流法是解題關鍵，結合串并聯電路知識解決．