Question

6．表面光滑、半徑為R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方O′處有一無摩擦定滑輪，輕質細繩兩端各系一個可視為質點的小球掛在定滑輪上，如圖所示．兩小球平衡時，若滑輪兩側細繩的長度分別為L₁=2.4R和L₂=2.5R，則這兩個小球的質量之比為$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$，小球與半球之間的壓力之比為$\frac{{N}_{1}}{{N}_{2}}$，則以下說法正確的是（　　）

• A． $\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\frac{24}{25}$
• B． $\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\frac{25}{24}$
• C． $\frac{{N}_{1}}{{N}_{2}}$=$\frac{25}{24}$
• D． $\frac{{N}_{1}}{{N}_{2}}$=$\frac{24}{25}$

Answer 1

分析 分別以兩個小球為研究對象，分析受力情況，作出力圖，運用三角形相似法得出繩子拉力、支持力與重力的關系式，再求解質量之比和壓力之比．

解答 解：先以左側小球為研究對象，分析受力情況：重力m₁g、繩子的拉力T和半球的支持力N，作出力圖．
由平衡條件得知，拉力T和支持力N的合力與重力mg大小相等、方向相反．設OO′=h，根據三角形相似得：
$\frac{T}{{L}_{1}}=\frac{{m}_{1}g}{h}$=$\frac{{N}_{1}}{R}$，
同理，對右側小球，有：
$\frac{T}{{L}_{2}}=\frac{{m}_{2}g}{h}$=$\frac{{N}_{2}}{R}$，
解得：
m₁g=$\frac{Th}{{L}_{1}}$…①
m₂g=$\frac{Th}{{L}_{2}}$…②
N₁=$\frac{{{m_1}gR}}{h}$…③
N₂=$\frac{{{m_2}gR}}{h}$…④
由①：②得
m₁：m₂=L₂：L₁=25：24，
由③：④得
N₁：N₂=m₁：m₂=L₂：L₁=25：24，
故AD錯誤，BC正確；
故選：BC．

點評 本題運用三角形相似法處理非直角三角形的力平衡問題，抓住兩球所受的繩子拉力相等是橋梁．