Question

8．如圖所示，光滑圓管軌道AB部分平直且足夠長，BC部分是處于豎直平面內的半圓，其中BC為豎直直徑，一半徑略小于軌道內徑的光滑小球以水平速度v₀=5m/s射入圓管中，從C點水平射出時恰好對軌道無壓力，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）半圓軌道的半徑R；
（2）在小球從C點射出后在水平軌道AB外表面的落點與B點的水平距離．

Answer 1

分析 （1）小球經過C點時，恰好對軌道無壓力，小球只受重力，并由重力提供向心力，根據牛頓第二定律列式．再由A到C過程，由機械能守恒定律列式，聯立求解R．
（2）小球從C點射出后做平拋運動，由平拋運動的規律求解．

解答 解：（1）小球經過C點時，由重力提供向心力，則有
   mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，得 v_C=$\sqrt{gR}$
從A到C，由機械能守恒定律得 2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯立解得 R=$\frac{{v}_{0}^{2}}{5g}$=$\frac{{5}^{2}}{50}$m=0.5m
（2）小球從C點射出后做平拋運動，則有
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  x=v_Ct
解得 x=2R=1m
答：（1）半圓軌道的半徑R是0.5m；
（2）在小球從C點射出后在水平軌道AB外表面的落點與B點的水平距離是1m．

點評 本題是機械能守恒定律與向心力知識的綜合應用．對于小球在管子里的運動情形與輕桿模型類似，關鍵掌握臨界條件．