Question

（2012?石家莊一模）如圖所示，M、N為加速電場的兩極板，M板中心有一小孔Q，其正上方有一半徑為R₁=1m的圓形磁場區(qū)域，圓心為0，另有一內(nèi)半徑為R₁，外半徑為R2=

3

m的同心環(huán)形磁場區(qū)域，區(qū)域邊界與M板相切于Q點，磁感應強度大小均為B=0.5T，方向相反，均垂直于紙面．一比荷

q

m

=4×107C/kg帶正電粒子從N板的P點由靜止釋放，經(jīng)加速后通過小孔Q，垂直進入環(huán)形磁場區(qū)域．已知點P、Q、O在同一豎直線上，不計粒子的重力，且不考慮粒子的相對論效應．
（1）若加速電壓U1=1.25×106V，求粒子剛進入環(huán)形磁場時的速率v₀
（2）要使粒子能進入中間的圓形磁場區(qū)域，加速電壓U₂應滿足什么條件？
（3）在某加速電壓下粒子進入圓形磁場區(qū)域，恰能水平通過圓心O，之后返回到出發(fā)點P，求粒子從Q孔進人磁場到第一次回到Q點所用的時間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動能定理列式求解即可；
（2）畫出粒子恰好不進入中間磁場區(qū)的臨界軌跡，先根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列方程，再根據(jù)動能定理對直線加速過程列方程，最后聯(lián)立方程組求解即可；
（3）畫出運動軌跡并結(jié)合對稱性，得到軌跡對應的圓心角，然后求解出時間．

解答：解：（1）粒子在勻強電場中，由動能定理得：
qU1=

1

2

m

v

2 0

…①
解得：v0=1×107m/s…②
（2）粒子剛好不進入中間圓形磁場的軌跡如圖所示，

設此時粒子在磁場中運動的旋轉(zhuǎn)半徑為r₁，在Rt△QOO₁中有：

r

2 1

+

R

2 2

=(r1+R1)2…③
解得r₁=1m…④
洛倫茲力提供向心力，有Bqv=m

v2

r1

…⑤
解得r1=

mv

Bq

又由動能定理得：qU2=

1

2

mv2…⑥
聯(lián)立④⑤⑥得：U2=

B2 r 2 1 q

2m

=5×106V…⑦
所以加速電壓U₂滿足條件是：U₂＞5×10⁶V…⑧
（3）粒子的運動軌跡如圖所示

由于 O、O₃、Q共線且豎直，又由于粒子在兩磁場中的半徑相同為r₂，有
O₂O₃=2O₂Q=2r₂
由幾何關(guān)系得∠QO₂O₃=60⁰
故粒子從Q孔進入磁場到第一次回到Q點所用的時間為
t=2 （

1

6

T+

5

12

T ）=

7

6

T…⑨
又T=

2πm

Bq

…⑩
由⑨⑩得t≈3.66×10^-7s
答：（1）粒子剛進入環(huán)形磁場時的速率為v0=1×107m/s；
（2）要使粒子能進入中間的圓形磁場區(qū)域，加速電壓U₂應滿足條件：U₂＞5×10⁶V；
（3）粒子從Q孔進人磁場到第一次回到Q點所用的時間約為3.66×10^-7s．

點評：本題關(guān)鍵分析清楚帶電粒子的運動情況，明確粒子各個階段的運動規(guī)律，然后結(jié)合動能定理、牛頓第二定律等規(guī)律列式求解．