Question

如圖所示，一小球從A點以某一水平向右的初速度出發，沿水平直線軌道運動到B點后，進入半徑R=10cm的光滑豎直圓形軌道，圓形軌道間不相互重疊，即小球離開圓形軌道后可繼續向C點運動，C點右側有一壕溝，C、D兩點的豎直高度h=0.8m，水平距離s=1.2m，水平軌道AB長為L₁=1m，BC長為L₂=3m，.小球與水平軌道間的動摩擦因數μ=0.2，重力加速度g=10m/s²，則：

（1）若小球恰能通過圓形軌道的最高點，求小球在A點的初速度？

（2）若小球既能通過圓形軌道的最高點，又不掉進壕溝，求小球在A點的初速度的范圍是多少？

 

Answer 1

（1）v_A=3m/s（2）3m/s≤v_A≤4m/s和v_A≥5m/s

解析:（1）小球恰能通過圓形軌道的最高點，mg=mv²/R，

由B到最高點，機械能守恒，mv_B²=mv²+mg·2R

由A到B，由動能定理，-μmgL₁=mv_B²-mv_A²

聯立解得小球在A點的初速度v_A=3m/s。

（2）若小球剛好停在C處，則有-μmg(L₁+L₂)=-mv’_A²

解得，v’_A=4m/s。

若小球剛好停在BC段，則有3m/s≤v_A≤4m/s。

若小球能通過C點，并越過壕溝，則有h=gt²，s=v_Ct，

由動能定理，-μmg(L₁+L₂)= mv_C²-mv_A²

聯立解得：v_A=5m/s。

小球既能通過圓形軌道的最高點，又不掉進壕溝，小球在A點的初速度的范圍是：

3m/s≤v_A≤4m/s和v_A≥5m/s。