Question

（2010?平頂山模擬）如圖所示，一小球從A點以某一水平向右的初速度出發，沿水平直線軌道運動到B點后，進入半徑R=10cm的光滑樹枝圓形軌道，圓形軌道間不相互重疊，即小球離開圓形軌道后可繼續向C點右側有一壕溝，C、D兩點的豎直高度h=0.8cm，水平距離s=1.2cm，水平軌道AB長為L₁=1m，BC長為L₂=3m．小球與水平軌道間的動摩擦因數u=0.2，重力加速度g=10m/s²，重力加速度g=10m/s²，則：
（1）若小球恰能通過圓形軌道的最高點，求小球在A點的初速度？
（2）若小球既能通過圓形軌道的最高點，又不能掉進壕溝，求小球在A點的初速度的范圍是多少？

Answer 1

分析：（1）小球恰能通過圓形軌道的最高點，由重力提供向心力，由牛頓第二定律可求出小球經圓形軌道的最高點時的速度．根據動能定理分別研究小球從B點到軌道最高點的過程和A→B過程，聯立求解小球在A點的初速度．
（2）若小球既能通過圓形軌道的最高點，又不能掉進壕溝，有兩種情況：第一種情況：小球停在BC間；第二種情況：小球越過壕溝．若小球恰好停在C點，由動能定理求出小球的初速度．得出第一種情況下小球初速度范圍．若小球恰好越過壕溝，由平拋運動知識求出小球經過C點的速度，再由動能定理求出初速度，得到初速度范圍．

解答：解：（1）小球恰能通過最高點    mg=m?

v2

R

  ①
由B到最高點         

1

2

mvB2=

1

2

mv2+mg(2R) ②
由A→B-μmgL1=

1

2

mvB2-

1

2

mvA2  ③
解得：在A點的初速度v_A=3m/s  ④
（2）若小球恰好停在C處，對全程進行研究，則有：
-μmg（L+L′）=0-

1

2

mv′2，解得v′=4m/s．
所以當3m/s≤v_A≤4m/s時，小球停在BC間．
 若小球恰能越過壕溝時，則有
   h=

1

2

gt2，s=vt，
又-μmg（L+L′）=

1

2

mv2-

1

2

mv″2
解得，v″=5m/s
所以當v_A≥5m/s，小球越過壕溝．
答：（1）若小球恰能通過圓形軌道的最高點，小球在A點的初速度是3m/s．
（2）若小球既能通過圓形軌道的最高點，又不能掉進壕溝，小球在A點的初速度的范圍是3m/s≤v_A≤4m/s或v_A≥5m/s．

點評：本題是圓周運動、平拋運動和動能定理的綜合應用，注意分析臨界狀態，把握臨界條件是重點．