Question

如圖12所示，質量為m的鋼板與直立的輕彈簧的上端相連，彈簧下端固定在地面上，平衡時彈簧的壓縮量為x₀.一物塊從鋼板正上方距離為3x₀的A處自由下落，落在鋼板上立刻與鋼板粘連在一起向下運動，它們到達最低點后又向上運動.已知物塊質量也為m時，它們恰能回到O點.

圖12

(1)求彈簧初始時刻的彈性勢能.

(2)若彈簧的彈性勢能與彈簧的形變量(即伸長量或壓縮量)的平方成正比，求物塊與鋼板一起向下運動的最大速度.

(3)若物塊質量為2m，仍從A處自由下落，求物塊與鋼板回到O點時的速度大小.

Answer 1

(1)物塊由初始位置下落與鋼板碰撞前的速度為v₀，由機械能守恒定律得mg3x₀=

∴v₀=

設物塊與鋼板碰撞后的共同速度為v₁，由動量守恒得mv₀=2mv₁

∴v₁=

設彈簧初始的彈性勢能為E_p.則碰撞后回到O點過程中由機械能守恒定律得2mgx₀=+E_p由上可得E_p=

(2)鋼板處于平衡狀態時.有(設k為彈簧的勁度系數)kx₀=mg

則物塊與鋼板一起向下運動到所受彈力kx與重力2mg平衡時，有速度最大值v_m，即kx=2mg

則x=2x₀

故此時彈簧的彈性勢能為4E_p.

由能量守恒得：E_p++2mgx₀=+4E_p

得v_m=

(3)設v₂表示質量為2m的物塊與鋼板碰撞后開始一起向下運動的速度，則有：2mv₀=3mv₂

物塊與鋼板回到O點時的速度為v，則有：3mgx₀+(3m)v²=(3m)+E_p

v=