Question

12．已知質量分布均勻的球殼對對殼內的物體的引力為0．假設地球是一半徑為R的質量分布均勻的球體，地球表面的重力加速度大小為g．試求：
（ 1 ）在地面上方離地面距離為$\frac{R}{2}$處的重力加速度大小與在地面下方地球內部離地面距離為$\frac{R}{2}$處的重力加速度大小之比為多少？
（ 2 ）設想地球的密度不變，自轉周期不變，但地球球體半徑變為原來的一半，僅考慮地球和同步衛星之間的相互作用力，則該“設想地球”的同步衛星的軌道半徑與以前地球的同步衛星軌道半徑的比值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產生的加速度，在其內部距離地心距離為r處一點的加速度相當于半徑為r的球體在其表面產生的加速度，根據萬有引力提供向心力求解；
（2）地球和同步衛星的萬有引力提供同步衛星轉動的向心力，根據萬有引力提供向心力公式列式，聯立方程求解．

解答 解：（1）根據萬有引力提供向心力得：
$G\frac{{M}_{g1}m}{（R+0.5R）^{2}}=m{g}_{1}$，
$G\frac{{M}_{g2}m}{{（R-0.5R）}^{2}}=m{g}_{2}$，
且有：$\frac{{M}_{g1}}{{M}_{g2}}=\frac{ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}}{ρ•\frac{4}{3}π（\frac{R}{2}）^{2}}=\frac{8}{1}$，
則得：$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}=\frac{8}{1}×\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$
（2）地球和同步衛星的萬有引力提供同步衛星轉動的向心力，則有：
$G\frac{{M}_{g1}m}{{{r}_{1}}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}^{2}}$，
$G\frac{{M}_{g2}m}{{{r}_{2}}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}{r}_{2}}{{T}^{2}}$，
而${M}_{g1}=ρ•\frac{4}{3}π{R}^{2}$，${M}_{g2}=ρ•\frac{4}{3}π（{\frac{R}{2}）}^{2}$，
解得：$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}=\frac{1}{2}$
答：（ 1 ）在地面上方離地面距離為$\frac{R}{2}$處的重力加速度大小與在地面下方地球內部離地面距離為$\frac{R}{2}$處的重力加速度大小之比為8：9；
（ 2 ）設想地球的密度不變，自轉周期不變，但地球球體半徑變為原來的一半，僅考慮地球和同步衛星之間的相互作用力，則該“設想地球”的同步衛星的軌道半徑與以前地球的同步衛星軌道半徑的比值是1：2．

點評 本題主要考查了萬有引力提供向心力公式的直接應用，知道質量與半徑之間的關系，明確地球的密度是不變的，難度適中．