Question

1．科學家發明一種新型的導體材料，該材料的電阻率為ρ₀，密度為ρ．該材料可制成圓柱形導體棒，且該棒很容易被均勻拉伸，拉伸和壓縮過程中幾乎不需要外力．假設有一質量為m的該材料的圓柱形導體棒長度為L．求：
（1）該導體的電阻R；
（2）若將該導體的兩端與兩光滑的不計電阻的輕金屬環a、b相連接．兩環又分別套在豎直平面內的不計電阻的兩根導軌上．PM和PN長度相等且正立在絕緣的地面上．兩導軌在P點相連成θ=60°且足夠長．整個導軌平面內有垂直向里的勻強磁場磁感應強度為B．從圖示位置釋放該導體棒．當該棒下降h的高度時棒的速度為v．該時刻導體的加速度是多少？

Answer 1

分析 （1）根據質量體積和密度之間的關系，先表示出導體的體積表達式，繼而可得知導體的橫截面積與成都的關系，再結合電阻定律，即可得知導體的電阻．
（2）根據幾何關系，先求得棒下降h的高度時導體的長度，結合第一問的結果可得知此時的電阻，結合感應電動勢和歐姆定律以及牛頓第二定律，即可求得此時的加速度．

解答 解：（1）圓柱形導體棒的體積為：V=$\frac{m}{ρ}$…①
圓柱形導體棒的橫截面積為：s=$\frac{V}{L}$…②
圓柱形導體棒的電阻為：R=ρ₀$\frac{L}{s}$…③
聯立①②③式得：R=$\frac{{ρ}_{0}ρ{L}^{2}}{m}$…④
（2）當該棒下降h的高度時，由幾何關系可知棒的長度為L′=$\frac{2}{\sqrt{3}}h+L$如圖所示，則結合④可得此時的電阻為：
R′=$\frac{{ρ}_{0}ρ（\frac{2}{\sqrt{3}}h+L）^{2}}{m}$…⑤
產生的感應電動勢為：E=BL′v…⑥
電流為：I=$\frac{E}{R′}$…⑦
加速度為：a=$\frac{mg-BIL′}{m}$…⑧
聯立⑤⑥⑦⑧得：a=g-$\frac{{B}^{2}v}{{ρ}_{0}ρ}$
答：（1）該導體的電阻R為$\frac{{ρ}_{0}ρ{L}^{2}}{m}$；
（2）當該棒下降h的高度時棒的速度為v．該時刻導體的加速度是g-$\frac{{B}^{2}v}{{ρ}_{0}ρ}$．

點評 該題考查到了電阻定律和感應電動勢，首先要求學生要熟記電阻定律的表達式，知道導體的電阻與哪些因素有關，知道感應電動勢的求解方法，在B、L、v互相垂直的情況下導體中產生的感應電動勢的大小為E=BLv，該題還要求學生要有利用相關數學知識解決物理問題的能力．