Question

3．如圖所示，一個半徑為R的$\frac{1}{4}$圓周的軌道，O點為圓心，B為軌道上的一點，OB與水平方向的夾角為37°，OC連接水平軌道的左側與一固定平臺相連，D點有一質量為m的小物塊（可看做質點），距離O點的距離為L，以不同的初速度向O點運動，D、O、C三點在同一直線上，已知物塊與水平面間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，cos37°=0.8，sin37°=0.6，不計空氣阻力．
（1）若小物塊恰能擊中B點，求小物塊的初速度v₀；
（2）若小物塊恰好能擊中B點，試通過計算判斷小球落到軌道時速度會否與圓弧垂直；
（3）改變初速度v₀的大小，求小物塊落到軌道時動能的最小值．

Answer 1

分析 （1）小物塊離開O點做平拋運動，由平拋運動的規律求得初速度v₀；
（2）小物塊做平拋運動，通過運動學公式求得位移的偏轉角與速度的偏轉角來判斷；
（3）設小球落在圓周上時落地點與O點的連線與水平方向的夾角為θ，由動能定理得到動能與θ的關系式，再求動能的最小值．

解答 解：（1）小物塊離開O點做平拋運動，由題有：
  Rcos37°=v₀t
  Rsin37°=$\frac{1}{2}$gt²；
解得 v₀=$\sqrt{\frac{8}{15}gR}$ 
（2）設落點與O點的連線與水平方向的夾角為θ，小球做平拋運動，由
Rcosθ=v₀t，Rsinθ=$\frac{1}{2}$gt²；
位移方向與圓弧垂直 tanθ=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$
設小物塊落在圓周上時速度方向與水平方向的夾角為α，則
 tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{gt}{{v}_{0}}$=2tanθ，則α≠θ，所以小球不能垂直擊中圓弧．
（3）設落地點與O點的連線與水平方向的夾角為θ，小球做平拋運動，
  Rcosθ=v₀t，Rsinθ=$\frac{1}{2}$gt²； 
由動能定理得：mgRsinθ=E_K-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 E_K=mgR（$\frac{3}{4}$sinθ+$\frac{1}{4sinθ}$）
由數學知識得：當$\frac{3}{4}$sinθ=$\frac{1}{4sinθ}$即sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，E_K取最小值，最小值為 E_Kmin=$\frac{\sqrt{3}}{2}$mgR
答：（1）若小物塊恰能擊中B點，小物塊的初速度v₀是$\sqrt{\frac{8}{15}gR}$．
（2）若小物塊恰好能擊中B點，小球落到軌道時速度與圓弧不垂直．
（3）改變初速度v₀的大小，小物塊落到軌道時動能的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$mgR．

點評 本題主要考查了平拋運動，抓住在水平方向勻速直線運動，豎直方向自由落體運動，運用數學上函數法求動能的最小值．