Question

7．為提高通行效率，許多高速公路入口安裝了電子不停車收費系統ETC．甲、乙兩輛汽車分別通過ETC通道和人工收費通道（MTC）駛離高速公路，流程如圖所示．假設減速帶離收費島口x=60m，收費島總長度d=40m，兩輛汽車同時以相同的速度v₁=72km/h經過減速帶后，一起以相同的加速度做勻減速運動．甲車減速至v₂=36km/h后，勻速行駛到中心線即可完成繳費，自動欄桿打開放行；乙車剛好到收費島中心線收費窗口停下，經過t₀=15s的時間繳費成功，人工欄打開放行．隨后兩輛汽車勻加速到速度v₁后沿直線勻速行駛，設加速和減速過程中的加速度大小相等，求：
（1）此次人工收費通道和ETC通道打開欄桿放行的時間差△t₁；
（2）兩輛汽車駛離收費站后相距的最遠距離△x．

Answer 1

分析 （1）根據勻變速直線運動的基本公式求出ETC通道勻減速時間和位移，再求出勻速時間，即為即為甲甲車從減速到欄桿打開的總時間；在人工收費通道勻減速時間和繳費時間之和，即為從減速到欄桿打開的總時間，即可求出總時間；
（2）當乙車從收費通道中心線出發加速到${v}_{1}^{\;}=72km/h$，與甲車達到共同速度，此時兩車相距最遠；

解答 解：（1）兩車減速運動的加速度為$a=\frac{{v}_{1}^{2}}{2（x+\fracp9vv5xb5{2}）}=2.5m/{s}_{\;}^{2}$

甲車減速到v₂所用時間為
${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}-{v}_{2}^{\;}}{a}=4s$，
走過的距離為  ${x}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}+{v}_{2}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}=60m$，
甲車從勻速運動到欄桿打開所用時間為   ${t}_{2}^{\;}=\frac{x+\fracp9vv5xb5{2}-{x}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=2s$
甲車從減速到欄桿打開的總時間為   t_甲=${t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=6s$
乙車減速行駛到收費島中心線的時間為  ${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{a}=8s$，
從減速到欄桿打開的總時間為    ${t}_{乙}^{\;}={t}_{0}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=23s$
人工收費通道和ETC通道打開欄桿放行的時間差$△t={t}_{乙}^{\;}-{t}_{甲}^{\;}=17s$
（2）乙車從收費通道中心線出發又經${t}_{3}^{\;}=8s$加速到${v}_{1}^{\;}=72km/h$，與甲車達到共同速度，此時兩車相距最遠，這個過程乙車行駛的距離與之前乙車減速行駛的距離相等
${x}_{乙}^{\;}=x+\fracp9vv5xb5{2}=80m$
從收費通道中心線開始，甲車先以${v}_{2}^{\;}=36km/h$加速至${v}_{1}^{\;}=72km/h$，這個時間為${t}_{1}^{\;}=4s$，然后勻速行駛．
${x}_{甲}^{\;}={x}_{1}^{\;}+{v}_{1}^{\;}（{t}_{3}^{\;}+△t-{t}_{1}^{\;}）=480m$
故兩車相距的最遠距離為$△x={x}_{甲}^{\;}-{x}_{乙}^{\;}=400m$
答：（1）此次人工收費通道和ETC通道打開欄桿放行的時間差為17s；
（2）兩輛汽車駛離收費站后相距的最遠距離△x為400m

點評 解決本題的關鍵理清汽車在兩種通道下的運動規律，結合勻變速直線運動的位移公式和時間公式進行求解，難度不大．