Question

7．如圖所示，半徑為R=0.8，圓心為O的大圓環固定在豎直平面內，兩個輕質小圓環套在大圓環上，一根輕質長繩穿過兩個小環，它的兩端都系上質量為m=2kg的重物．忽略小圓環的大小，g=10m/s²．
（1）將兩個小圓環固定在大圓環豎直對稱軸的兩側θ=30°的位置上，在兩個小圓環間繩子的中點C處，掛上一個質量M=$\sqrt{2}$m的重物，使兩個小圓環間的繩子水平，然后無初速釋放重物M．設繩子與大小圓環間的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距離．
（2）在第（1）問的條件下，求重物M的最大動能．

Answer 1

分析 （1）對系統受力分析可知，系統不受摩擦力的作用，所以系統的機械能守恒，M減小的機械能應該等于m增加的機械能，列出方程可以求得M下降的最大的距離；
（2）根據受力分析明確何時M的動能達到最大，再由幾何關系確定下落高度，由機械能守恒定律可求得最大動能．

解答 解：（1）重物向下先做加速運動，后做減速運動，當重物速度為零時，下降的距離最大．
設下降的最大距離為h，由機械能守恒定律得
Mgh=2mg[$\sqrt{{h^2}+{{（Rsinθ）}^2}}-Rsinθ$]
解得 h=$\sqrt{2}R$（另解h=0舍去）．
所以重物M下降的最大距離為$\sqrt{2}R$．
（2）當加速完成時，M的速度最大；由題意可知，當M受力平衡時，速度達最大；
則由幾何關系可知，$\sqrt{2}$mg=2mgcosα
解得：α=45°；故當繩與豎直方向夾角為45°時，速度達最大，動能最大；
根據機械能守恒定律可知：
Mg$\frac{\sqrt{2}}{2}$R-2mg×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$R-$\frac{R}{2}$）=$\frac{1}{2}$Mv_max²+2×$\frac{1}{2}$m（v_maxcosα）²
M的最大動能為E_km
解得：E_km=0.58mgR；
答：（1）重物下降的最大距離為$\sqrt{2}$R；
（2）重物M的最大動能為0.58mgR

點評 本題中在應用機械能守恒的時候，由于不知道M和m距離地面的高度也不知道繩的具體的長度如何，所以本題不能采用初態的機械能等于末態的機械能來計算，要采用M減小的機械能等于m增加的機械能來計算．