Question

15．一中間有圓孔的玉片（厚度不計）保持環面平行于地面從高處靜止釋放，玉片直接撞擊地面而不被摔壞的最大釋放高度為h_m=0.2m．現將玉片緊套在高度L=0.55m且與玉片質量相等的圓柱體頂端處．從圓柱體下端距地面高度H=0.4m處由靜止釋放圓柱體，下落到地面后與地面發生碰撞時，觸地時間極短，無動能損失．玉片與圓柱體間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，大小為玉片重力的2倍．玉片最終從圓柱體上滑脫時，立即用手接住圓柱體．整個過程中圓柱體始終保持豎直，空氣阻力不計．試通過分析計算說明玉片最終是否摔壞．

Answer 1

分析 兩個物體先一起自由下落，然后圓柱體與地面碰撞后反彈，圓柱體減速上升，根據牛頓第二定律求出加速度，然后根據運動學公式求出上升的高度；玉片減速下降，圓柱體減速上升，當兩者速度相等時，根據運動學公式求出時間，并計算出位移，繼續向下做加速運動，再次利用運動學公式求得玉片脫離圓柱體的位置，根據速度位移公式求得，即可判斷；

解答 解：取向下的方向為正方向，釋放后玉片與圓柱體一起做自由落體運動，圓柱體下端的觸地時的速度為v₀，
${v}_{0}=\sqrt{2gH}=\sqrt{2×10×0.4}m/s=2\sqrt{2}m/s$
觸地后玉片以初速度v₀向下做勻減速運動，圓柱體以初速度-v₀向上做勻減速運動，設玉片與圓柱體的加速度分別為a₁和a₂
則${a}_{1}=\frac{mg-2mg}{m}=-10m/{s}^{2}$
${a}_{2}=\frac{mg+2mg}{m}=30m/{s}^{2}$
設圓柱體觸地錢與玉片達到共同速度v_共，共速時玉片與圓柱體的位移分別為x₁和x₂，運動時間t₁
v_共=v₀+a₁t₁
v_共=-v₀+a₂t₁
${x}_{1}=\frac{{v}_{0}+{v}_{共}}{2}{t}_{1}$
${x}_{2}=\frac{-{v}_{0}+{v}_{故}}{2}{t}_{1}$
聯立解得x₁=0.3m，x₂=-0.1m，${v}_{共}=\sqrt{2}m/s$
共速時，玉片相對于圓柱下滑的距離d₀=x₁-x₂=0.4m，玉片距圓柱體底端為d₁=L-d₀=0.15m
共速后玉片和圓柱體一起自由下落，設圓柱體再次觸地時的速度v₂
${v}_{2}^{2}{-v}_{共}^{2}=2g（-{x}_{2}）$，解得v₂=2m/s
再次觸地后玉片以初速度v₂向下做勻減速運動，圓柱體以初速度-v₂向上做勻減速運動，
假設運動過程中玉片脫離圓柱體，脫離時玉片與圓柱體的位移分別為x₃，x₄，玉片的速度為v₄，運動時間t₂
${x}_{2}={v}_{2}{t}_{2}+\frac{1}{2}{{a}_{1}t}_{2}^{2}$，${x}_{4}=-{v}_{2}{t}_{2}+\frac{1}{2}{{a}_{2}t}_{2}^{2}$
x₃-x₄=d₁=0.15
${v}_{4}^{2}{-v}_{3}^{2}=2{a}_{1}{x}_{2}$
解得x₂=0.0875m，x₄=-0.0625m，v₄=1.5m/s
此時玉片離地面的高度d₂=d₁-x₂=0.0625m，說明假設成立；
脫落后，玉片自由下落，落地時玉片的速度為v₅${v}_{5}^{2}{-v}_{4}^{2}=2gp9vv5xb5_{2}$，解得${v}_{5}=\sqrt{3.5}m/s$
玉片以v₅的速度落地，相當于從h高初由靜止自由下落$h=\frac{{v}_{5}^{2}}{2g}=0.175m＜h=0.2m$
故玉片不會摔壞
答：玉片最終不會摔壞

點評 本題關鍵是對各個過程多次運用運動學公式列式求解，同時可對整個過程運用功能關系列式求解