Question

1．如圖，一光滑水平桌面AB與一半徑為R的光滑半圓形軌道相切于C點，且兩者固定不動．一長L為0.8m的細繩，一端固定于O點，另一端系一個質量m₁為0.2kg的球．當球在豎直方向靜止時，球對水平桌面的作用力剛好為零．現將球提起使細繩處于水平位置時無初速釋放．當球m₁擺至最低點時，恰與放在桌面上的質量m₂為0.8kg的小鐵球正碰，碰后m₁小球以2m/s的速度彈回，m₂將沿半圓形軌道運動，恰好能通過最高點D．g=10m/s²，求
①m₂在圓形軌道最低點C的速度為多大？
②光滑圓形軌道半徑R應為多大？

Answer 1

分析 （1）球m₁擺至最低點的過程中，根據機械能守恒定律求出到最低點時的速度，碰撞過程，根據動量守恒列式求碰后m₂的速度．
（2）m₂沿半圓形軌道運動，根據機械能守恒定律求出m₂在D點的速度．恰好能通過最高點D時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律可求出R．

解答 解：（1）設球m₁擺至最低點時速度為v₀，由小球（包括地球）機械能守恒：
${m}_{1}gL=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{0}}^{2}$
得：${v}_{0}=\sqrt{2gL}$=$\sqrt{2×10×0.8}=4m/s$
m₁與m₂碰撞，動量守恒，設m₁、m₂碰后的速度分別為v₁、v₂．
選向右的方向為正方向，則：
 m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂
代入數值解得：v₂=1.5 m/s                             
（2）m₂在CD軌道上運動時，由機械能守恒有：
  $\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}={m}_{2}g（2R）+\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{D}}^{2}$…①
由小球恰好通過最高點D點可知，重力提供向心力，即：
${m}_{2}g={m}_{2}\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$…②
由①②解得：R=0.045m
答：（1）m₂在圓形軌道最低點C的速度為1.5m/s．
（2）光滑圓形軌道半徑R應為0.045m．

點評 本題主要考查了動量守恒、機械能守恒定律、向心力公式的應用，要知道小球恰好通過最高點時，由重力提供向心力．