Question

16．如圖所示，發射一顆地球同步衛星，先由運載火箭將衛星送入一橢圓軌道，飛行幾周后衛星在橢圓軌道的遠地點處變軌進入同步軌道．已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球自轉周期為T，則下列說法中正確的是（　　）

• A． 衛星在橢圓軌道上的運動周期小于T
• B． 衛星在橢圓軌道上運動時的機械能大于在同步軌道上運動時的機械能
• C． 衛星在橢圓軌道上B處的加速度等于在同步軌道上B處的加速度
• D． 衛星在同步軌道上運動時離地高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$

Answer 1

分析 根據開普勒行星運動定律求解橢圓軌道周期與同步衛星周期的大小關系，同步衛星在橢圓軌道遠地點加速才能進入同步軌道，故在同步軌道衛星能量大于橢圓軌道上的衛星能量，在橢圓軌道上運動至B點時衛星要做近心運動，故萬有引力大于B點圓周運動的向心力，而在同步軌道上萬有引力等于圓周運動向心力，由此判定向心加速度的大小，根據在地球表面重力與萬有引力相等和由步衛星軌道萬有引力提供圓周運動向心力分析同步衛星的軌道高度．

解答 解：A、由幾何知識知橢圓軌道的半長軸小于同步軌道的半徑，故由開普勒行星運動定律知衛星在橢圓軌道上的周期小于同步衛星的周期T，故A正確；
B、根據衛星變軌原理知，衛星在橢圓軌道上的遠地點需要加速才能進入同步衛星軌道，故衛星在同步軌道上的機械能大于在橢圓軌道上的機械能，故B錯誤；
C、萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma，解得：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，在兩軌道上，G、M、r都相同，則衛星在橢圓軌道上B處的加速度等于在同步軌道上B處的加速度，故C正確；
D、在地球表面重力與萬有引力相等，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，在同步衛星軌道上有萬有引力提供圓周運動向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，解得，同步衛星軌道半徑：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，此時同步衛星距地面的高度為H=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R，故D錯誤．
故選：AC．

點評 掌握衛星變軌原理，能根據萬有引力提供圓周運動向心力以及在地球表面重力與萬有引力相等，這是正確解決本題的關鍵．