Question

如圖所示為某探究活動小組設計的節能運輸系統．斜面軌道傾角為30°，質量為M的木箱與軌道的動摩擦因數為μ=

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．木箱在軌道頂端時，自動裝貨裝置將質量為m的貨物裝入木箱，然后木箱載著貨物（木箱和貨物都可看作質點）沿軌道無初速度滑下，當輕彈簧被壓縮至最短時，自動卸貨裝置立刻將貨物卸下，然后木箱恰好被彈回到軌道頂端，再重復上述過程．（重力加速度為g）
（1）求木箱下滑與上滑過程的加速度大小之比 （只討論木箱沒有與彈簧接觸的階段）
（2）證明貨物質量m與木箱質量M之比為2：1．

Answer 1

分析：（1）對下滑過程和上滑過程進行受力分析，根據牛頓第二定律分別求出加速度，從而得出木箱下滑與上滑過程的加速度大小之比．
（2）對上滑和下滑整個過程運用動能定理，彈簧彈力在整個過程中不做功，最終只有貨物重力做功和摩擦力做功．根據動能定理求出貨物質量m與木箱質量M之比．

解答：解：（1）下滑過程，根據牛頓第二定律有：（M+m）gsin30°-μ（M+m）gcos30°=（M+m）a₁
則a1=gsin30°-μgcos30°=2.5m/s2
上滑過程M，根據牛頓第二定律有：gsin30°+μMgcos30°=Ma₂
則a2=gsin30°+μgcos30°=7.5m/s2
所以a₁：a₂=1：3
故木箱下滑與上滑過程的加速度大小之比為1：3．
（2）證明：設下滑的總高度為h，全過程用動能定理
mgh-μ（M+m）gcosθ?

h

sinθ

-μMgcosθ?

h

sinθ

=0
代入數據解得m：M=2：1．

點評：解決本題的關鍵掌握牛頓第二定律，會用牛頓第二定律求加速度．以及選擇合適的研究過程，運用動能定理．