Question

12．宇宙中，兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用互相繞轉，稱之為雙星系統，設某雙星系統繞其連線上的O點做勻速圓周運動，如圖所示．若AO＜OB，則（　　）

• A． 星球A的向心力一定大于B的向心力
• B． 星球A的線速度一定大于B的線速度
• C． 星球A的質量可能等于B的質量
• D． 雙星的總質量一定，雙星之間的距離越大，其轉動周期越大

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，角速度相等，根據轉動半徑的大小，比較線速度大小．根據萬有引力提供向心力求出雙星的質量之和．

解答 解：A、雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，知向心力大小相等．故A錯誤．
B、雙星的角速度相等，根據v=rω知，星球A的線速度一定小于星球B的線速度．故B錯誤．
C、雙星間靠萬有引力提供向心力，有$G\frac{{m}_{A}^{\;}{m}_{B}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={m}_{A}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{A}^{\;}={m}_{B}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{B}^{\;}$，得$\frac{{m}_{A}^{\;}}{{m}_{B}^{\;}}=\frac{{r}_{B}^{\;}}{{r}_{A}^{\;}}＞1$，即${m}_{A}^{\;}＞{m}_{B}^{\;}$，故C錯誤；
D、根據萬有引力提供向心力，對A：$G\frac{{m}_{A}^{\;}{m}_{B}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={m}_{A}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{A}^{\;}$①
對B：$G\frac{{m}_{A}^{\;}{m}_{B}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={m}_{B}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{B}^{\;}$②
聯立①②得${m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}（{r}_{A}^{\;}+{r}_{B}^{\;}）{r}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，可知雙星的總質量一定，雙星之間的距離越大，其轉動周期越大，故D正確；
故選：D

點評 解決本題的關鍵知道雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及會用萬有引力提供向心力進行求解．