Question

6．如圖是阿毛同學的漫畫中出現的裝置，描述了一個“吃貨”用來做“糖炒栗子”的“萌”事兒：將板栗在地面小平臺上以初速度v₀經兩個四分之一圓弧銜接而成的軌道，從最高點P飛出進入炒鍋內，利用來回運動使其均勻受熱．我們用質量為m的小滑塊代替栗子，借這套裝置來研究一些物理問題．設兩個四分之一圓弧半徑分別為2R和R，小平臺和圓弧均光滑．將過鍋底的縱截面看作是兩個斜面AB、CD和一段光滑圓弧組成．兩斜面傾角均為θ=37°，滑塊的運動始終在包括鍋底最低點的豎直平面內，重力加速度為g．設滑塊恰好能經P點飛出，且恰好沿AB斜面進入鍋內．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：

（1）滑塊經過O點時對軌道壓力多大？
（2）滑塊經P點時的速度大小？
（3）P、A兩點間的水平距離為多少？

Answer 1

分析 （1）滑塊經過O點時，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求得支持力，從而得到滑塊對軌道的壓力．
（2）滑塊恰好能經P點飛出，在P點，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求P點的速度．
（3）由于滑塊恰好沿AB斜面進入鍋內，到達A點時速度沿AB方向，根據速度的分解法求出滑塊到A點時豎直分速度，由v_y=gt求出從P到A的時間，再由水平方向勻速運動的位移公式求P、A兩點間的水平距離．

解答 解：（1）在O點，根據牛頓第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得：N=mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
根據牛頓第三定律可得滑塊經過O點時對軌道壓力大小為：
N′=N=mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
（2）在P點，根據牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{2R}$
得：v_P=$\sqrt{2gR}$
（3）到達A點時滑塊的速度方向沿著AB方向，則有：
  tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{P}}$
又 v_y=gt
P、A兩點間的水平距離為：s=v_Pt
聯立解得：s=1.5R
答：
（1）滑塊經過O點時對軌道壓力是mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$．
（2）滑塊經P點時的速度大小是$\sqrt{2gR}$．
（3）P、A兩點間的水平距離為1.5R．

點評 本題關鍵要理清小球的運動情況，把握P點的臨界條件：重力等于向心力．對于平拋運動，要抓住隱含的條件，分解速度，要注意分運動的同時性．