Question

15．如圖甲所示，有一磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁場邊界OP與水平方向夾角為θ=45°，緊靠磁場邊界放置長為6d、間距為d的平行金屬板M、N，M板與磁場邊界的交點(diǎn)為P，磁場邊界上的O點(diǎn)與N板在同一水平面上．在兩板間存在如圖乙所示的交變電場（取豎直向下為正方向），其周期T=$\frac{4d}{{v}_{0}}$，E₀=$\frac{B{v}_{0}}{6}$．某時(shí)刻從O點(diǎn)豎直向上以初速度v₀發(fā)射一個(gè)電量為+q的粒子，結(jié)果粒子恰在圖乙中的t=$\frac{T}{4}$時(shí)刻從P點(diǎn)水平進(jìn)入板間電場，最后從電場中的右邊界射出．不計(jì)粒子重力．求：

（1）粒子的質(zhì)量m；
（2）粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場到射出電場運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t；
（3）粒子從電場中射出點(diǎn)到M點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系求出軌跡半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出粒子質(zhì)量；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，分別求出粒子在磁場和電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，即可得出粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場到射出電場運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t；
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子在豎直方向上的位移即可；

解答 解：（1）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，

軌跡半徑r=d①
由牛頓第二定律得
$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$②
解得：$m=\frac{qBd}{{v}_{0}^{\;}}$
（2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期${T}_{0}^{\;}=\frac{2πm}{qB}$③
在磁場運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{1}^{\;}=\frac{{T}_{0}^{\;}}{4}$④
粒子在電場中做曲線運(yùn)動(dòng)，在與極板平行方向上的分運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng)
運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{2}^{\;}=\frac{6d}{{v}_{0}^{\;}}$⑤
從O點(diǎn)到離開電場的總時(shí)間$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}$⑥
解得：$t=\frac{πd}{2{v}_{0}^{\;}}+\frac{6d}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{（π+12）}{2{v}_{0}^{\;}}d$
（3）粒子在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間${T}_{2}^{\;}=\frac{6d}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{3}{2}T$
當(dāng)粒子從時(shí)刻$t=\frac{T}{4}$自P點(diǎn)進(jìn)入電場后，在豎直方向上運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期T的位移為0，速度圖象如圖所示

故粒子在$\frac{3}{2}T$內(nèi)運(yùn)動(dòng)的豎直位移$y=2×\frac{1}{2}a（\frac{T}{4}）_{\;}^{2}$
$a=\frac{q{E}_{0}^{\;}}{md}$
解得$y=\fracp9vv5xb5{6}$
答：（1）粒子的質(zhì)量m為$\frac{qBd}{{v}_{0}^{\;}}$；
（2）粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場到射出電場運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t為$\frac{（π+12）}{2{v}_{0}^{\;}}d$；
（3）粒子從電場中射出點(diǎn)到M點(diǎn)的距離$\fracp9vv5xb5{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場與磁場中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律、粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可正確解題．