Question

3．如圖所示，兩足夠長的平行金屬導軌ab、cd，間距L=lm，導軌平面與水平面的夾角θ=37°，在a、c之間用導線連接一阻值R=3Ω的電阻，放在金屬導軌ab、cd上的金屬桿質量m=0.5kg，電阻r=1Ω，與導軌間的動摩擦因數μ=0.5，金屬桿的中點系一絕緣輕繩，輕繩的另一端通過光滑的定滑輪懸掛一質量M=1kg的重物，空間中加有磁感應強度B=2T且與導軌所在平面垂直的勻強磁場，金屬桿運動過程中始終與導軌垂直且接觸良好，導軌電阻不計．M正下方的地面上安裝有加速度傳感器，可用來測量M運動的加速度，現將M由靜止釋放，重物即將落地時，加速度傳感器的示數為2m/s²，全過程通過電阻R的電荷量為0.5C，（重力加速度g取10m/s²、sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）重物即將落地時金屬桿兩端的電壓；
（2）此過程中電阻R上產生的焦耳熱；
（3）若將R更換為一個電容為C=1F的電容器，擇放重物后加速度傳感器的讀數．

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應定律得金屬桿產生的感應電動勢，根據閉合電路歐姆定律得回路中電流，從而可得金屬桿受到的安培力．再對M、m整體分析由牛頓第二定律聯立可得金屬桿兩端的電壓；
（2）根據電流定義得電量為：q=$\overline{I}$t，再由法拉第電磁感應定律和閉合電路歐姆定律以及對系統由能量守恒定律建立等式可求電阻R上產生的焦耳熱；
（3）根據電流定義和牛頓第二定律結合可求釋放重物后加速度傳感器的讀數．

解答 解：（1）設此時金屬桿的速度為v，由法拉第電磁感應定律得金屬桿產生的感應電動勢為：E=BLv
由閉合電路歐姆定律得回路中電流為：I=$\frac{E}{R+r}$
所以金屬桿受到的安培力為：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，方向沿斜面向下．
對M、m整體分析，由牛頓第二定律得：Mg-mgsin37°-μmgcos37°-F=（M+m）a₁
聯立解得桿的速度為：v=2m/s
電源電動勢為：E=4V
根據歐姆定律得金屬桿兩端的電壓為：U=IR=$\frac{ER}{R+r}$=3V
（2）電量為：q=$\overline{I}$t
根據法拉第電磁感應定律有：$\overline{E}$=$\frac{△φ}{△t}$
由閉合電路歐姆定律有：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$
設重物下落的高度為h，則△φ=BLh
聯立解得重物下落的高度為h=1m
設該過程中產生的焦耳熱為Q，對系統由能量守恒定律得：Mgh=$\frac{1}{2}$（M+m）v²+μmgcos37°+mgsin37°+Q
解得：Q=2J
所以電阻R上產生的焦耳熱為：Q′=$\frac{R}{R+r}$Q=1.5J
（3）電容器的充電電流為：I_C=$\frac{△q}{△t}$=$\frac{CBL△v}{△t}$=CBLa
對導體棒和重物為整體，由牛頓第二定律得：Mg-mgsinθ-μmgcosθ-F_安=（M+m）a
整理得：a=$\frac{Mg-mgsinθ-μmgcosθ}{C{B}^{2}{L}^{2}+M+m}$
代入數據解得：a=$\frac{10}{11}$m/s²≈0.91m/s²．
答：（1）重物即將落地時金屬桿兩端的電壓為3V；
（2）此過程中電阻R上產生的焦耳熱為1.5J；
（3）若將R更換為一個電容為C=1F的電容器，釋放重物后加速度傳感器的讀數為0.91m/s²．

點評 該題為電磁感應與動力學綜合的問題，解決本題的關鍵是分析運動過程，正確使用能量守恒定律和牛頓第二定律，題目由一定的難度．