Question

13．如圖，一半徑為R、粗糙程度處處相同的半圓形軌道如圖放置，三點POQ水平．一質(zhì)量為m的質(zhì)點自P點上方高度R處由靜止開始下落，恰好從P點進入軌道，質(zhì)點滑到軌道最低點N時，對軌道的壓力為F_N，g為重力加速度的大小，用W表示質(zhì)點從P運動到N點的過程中克服摩擦力所做的功，若質(zhì)點恰好能到達Q點，則（　　）

• A． W=$\frac{1}{2}$mgR，F(xiàn)_N=4mg
• B． W＞$\frac{1}{2}$mgR，F(xiàn)_N＜4mg
• C． W＞$\frac{1}{2}$mgR，F(xiàn)_N＞4mg
• D． W＜$\frac{1}{2}$mgR，F(xiàn)_N＞4mg

Answer 1

分析 對全過程根據(jù)動能定理求出在整個軌道上克服摩擦力做的功，根據(jù)抓住NQ段克服摩擦力做功小于在PN段克服摩擦力做功，即可得質(zhì)點從P運動到N點的過程中克服摩擦力所做的功W的大小范圍；從釋放到N點由動能定理列式結(jié)合N點的向心力方程，可求出在N點時對軌道的壓力為F_N

解答 解：從釋放點到Q點，根據(jù)動能定理得：$mgR-{W}_{克f}^{\;}=0-0$
解得：${W}_{克f}^{\;}=mgR$
質(zhì)點運動過程半徑方向的合力提供向心力即${F}_{N}^{\;}-mgsinθ=ma=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，根據(jù)左右對稱，在同一高度，由于摩擦力做功導(dǎo)致右半幅的速度小，軌道彈力變小，滑動摩擦力$f=μ{F}_{N}^{\;}$變小，所以摩擦力做功變小，所以在軌道的左半幅克服摩擦力做功$W＞\frac{1}{2}mgR$
從釋放點到N點根據(jù)動能定理，有
$mg•2R-W=\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}-0$
得${v}_{N}^{\;}＜\sqrt{3gR}$
最低點N點：${F}_{N}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{N}^{2}}{R}$
解得：${F}_{N}^{\;}＜4mg$，故B正確，ACD錯誤；
故選：B

點評 本題考查了動能定理和牛頓第二定律的綜合運用，知道在最低點，靠重力和支持力的合力提供向心力，注意在NQ段克服摩擦力做功小于在PN段克服摩擦力做功．